A^2+B^2 non inversible

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Posted by: Imod

Bonjour à tous .

Un exercice que j'avais déjà proposé il y a quelque temps mais qui est passé complètement inaperçu dans un flot d'exercices du même style . Le tsunami est passé donc :

On considère deux matrices n \times n à coefficients réels et telles que : A^2+B^2=\pi(AB-BA) . Montrer que A^2+B^2 n'est pas inversible .

Imod


Posted by: Sylar

Bonjour,je trouve que c'est loin d'etre évident..........
Il faut montrer :det(A^2+B^2)=0....
Det(A^2+B^2)=(Pi)^n.det(A.B-B.A).........


Posted by: Imod

Citation:
Posté par Sylar
Bonjour,je trouve que c'est loin d'etre évident..........
Il faut montrer :det(A^2+B^2)=0....
Det(A^2+B^2)=(Pi-i)^n.det(A.B-B.A).........


Oui , c'est ça , mais il y a encore à dire !

Imod


Posted by: kazeriahm

juste pour savoir le Pi ne sert a rien si ? a la limite une constante differente de 1? et encore ?!


Posted by: Sylar

Il faut que je me creuse la tete....


Posted by: Imod

Citation:
Posté par kazeriahm
juste pour savoir le Pi ne sert a rien si ? a la limite une constante differente de 1? et encore ?!


Pi sert , pas vraiment en tant que pi mais n'importe quoi sauf 1 ne permet pas de conclure .

Imod


Posted by: fahr451

bonsoir

la réponse de yos avait du passer inaperçue


(A+iB)(A-iB) = A^2 +B^2 +i(BA -AB) = (pi - i ) (AB-BA)

le déterminant donne

l det (A+iB) l ^2 = (pi - i) ^n det (AB -BA)

et comme (pi - i) n 'est pas réel det (AB- BA) = 0


Posted by: kazeriahm

det A = det conjugué(A) ?


Posted by: Yipee

Je commencerais bien en posant C = A+iB. On a alors
C\overline{C} = A^2+B^2-i(AB-BA) = (1-i/\pi)(A^2+B^2).

Edit : pas assez rapide


Posted by: fahr451

ben non

det (A barre) = ( det A) barre


Posted by: kazeriahm

certes sorry


Posted by: Yipee

Il faut quand même que (\pi-i)^n ne soit pas réel ce qui est un peu plus fort que \pi -i \notin R


Posted by: Alpha

Citation:
Posté par fahr451
l det (A+iB) l ^2 = (pi - i) ^n det (AB -BA)


Peux-tu justifier ce passage s'il te plaît? C'est le membre de gauche qui me pose problème.


Posted by: Sylar

det A = det conjugué(A) ?

Moi aussi j'aimerai savoir d'ou vient ce résultat..........


Posted by: Alpha

Non mais c'est moi qui suis un peu fatigué, bien sûr que (det A) barre = det (A barre), pour le voir il suffit d'écrire la définition du déterminant : somme de produits etc...


Posted by: fahr451

A et B sont réelles


C = A+i B ,
donc
C barre= A - i B

et det (C barre) = (det C) barre suffit de prendre la définition du dét

d'où det[ C C(barre) ] = det C [(det C )barre] = l det C l^2 réel


Posted by: Imod

Si yos avait déjà répondu , bravo à lui

J'avais posté l'exercice dans un flot d'exercices du même type ( je n'ai même pas réussi à retrouver lequel ) . Si au moins certains le découvrent ici , je n'ai pas complètement perdu mon temps

Imod


Posted by: Sylar

Oui ,effectivement ce fut fort intéressant.


Posted by: yos

Citation:
Posté par Imod
Un exercice que j'avais déjà proposé il y a quelque temps mais qui est passé complètement inaperçu dans un flot d'exercices du même style .

Tes exercices ne passent jamais inaperçus. Mes réponses par contre...
C'est là :
http://www.maths-forum.com/showthre...12&page=3&pp=10

Je remercie Fahr d'avoir rappelé ma réponse.


Posted by: Imod

Citation:
Posté par yos

J'ai tout simplement raté la page 3 , désolé

Imod










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