Mathématiques - a^(b²)=b^a (pas très dur)

a^(b²)=b^a (pas très dur)
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Posted by: BiZi

Bonjour,

trouver tous les couples d'entiers naturels non nuls (a,b) qui vérifient la relation

a^(b²)=b^a

(les connaissances de Terminale S spé maths suffisent)

Posted by: altusi

c'est un pb d'IMO1997...

Posted by: BiZi

Bin en même temps on est dans la section "Olympiades" donc c'est normal que ce soit extrait d'un des sujets... Mais il est pas extrêmement difficile comparé à d'autres=)

Posted by: aviateurpilot

merci pour ce probleme Bizi

$a^b^2=b^a$
soit p un nombre premier qui divise a, alors p divise b
$b^2V_p(a)=aV_p(b)$
donc $V_p(a)=k\frac{a}{pgcd(a;b^2)} et V_p(b)=k\frac{b^2}{pgcd(a;b^2)}$
avec K de IN*
alors il existe N de IN tel que:
$a=N^{\frac{a}{pgcd(a;b^2)}}$ et $b=N^{\frac{b^2}{pgcd(a;b^2)}}$
alors dans ce cas $P=pgcd(a;b^2)=N^{\frac{min(a;2b^2)}{pgcd(a;b^2)}}$
alors $pgcd(a;b^2)=b^2$ si $a>=2b^2$ sinon $pgcd(a;b^2)=a$

=> si $a>=b^2$
$(b^s;b)$ avec $a=sb^2$ est une solution et $b^s=sb^2$ <=> $b^{s-2}=s$ on trouve facilement $b=0,s=1$ ou $b=1,s=1$ ou $s=0,b=0$ ou s=2;b=1 (s=2 pas une solution) $b=2;s=4$ ou $b=s=3$
si b>1 et s>4; $b^{s-2}>2^{s-2}>s$ (s=2 pas une solution)
$S_1={(1;1),(0;0),(27;3),(16;2)}$

=> si $a<b^2$
$(a;a^t)$ avec $b^2=at$ est une solution et $a^t=b$ <=> $a^{2t}=b^2$ <=> $a^{2t}=at$ <=> $a^{2t-1}=t$ on trouve facilement a=0,t=0 ou a=1,t=1 et si a>1 $a^{2t-1}>=2^{2t-1}>t$
S_2={(0;0),(1;1)}

S={(0;0),(1;1),(27;3),(16;2)}

NB: je ne suis pas sure de cette solution car je l'ai pas fait sur un bouillons
j'ecrit et je

ma tete en meme temp et a la fin j'ai posté sans verification et just apres

Posted by: BiZi

Je regarderai plus tard ta solution, là j'ai pas trop le temps, mais déjà moi avec ma méthode j'ai trouvé que le couple (3,27) est aussi solution, ce qui est vrai. Il y'a donc un problème dans ton résultat

Posted by: aviateurpilot

puisque t'a trouvé $(3,3^3)$ alors ma solution est vrai
par ce que j'ai trouvé que les solution s'ecrit sous la form
$(a,a^t)$ ou $(b^s,b)$
j'ai seulement fait une petite faute là:
=>

Citation:

$b^s=sb^2$ <=> $b^{s-2}=s$ ; b=0,s=1 ou b=1;s=1 ou b=0;s=0

j'ai pas vu s=b=3 et b=2;s=4

S={(0;0),(1;1),(27;3),(16;2)}
s'il existent d'autre solutions il faut qu'il verifie ce que j'ai trouvé dans ma 1er solution $(a,a^t)$ ou $(b^s,b)$

Posted by: BiZi

Citation:

Posté par aviateurpilot

$b^2V_p(a)=aV_p(b)$
donc $V_p(a)=k\frac{a}{pgcd(a;b^2)} et V_p(b)=k\frac{b^2}{pgcd(a;b^2)}$
avec K de IN*

Je ne comprends pas le passage de la première ligne aux autres, merci de m'éclairer

Posted by: aviateurpilot

on veut resoudre cette equation dans IN*: $b^2x=ay$
on pose $d=pgcd(b^2;a)$
alors il existe a' et b' tels que $a=a'd$ et $b^2=b'd$ avec $pgcd(a';b')=1$
alors $b^2x=ay$ <=> $b'dx=a'dy$
<=> $b'x=a'y$
puisque $pgcd(a';b')=1$
a' divise x
alors il existe k tel que : $x=ka'=k\frac{a}{d}=k\frac{a}{pgcd(b^2;a)}$
de meme façon on trouve $y=k\frac{b^2}{pgcd(b^2;a)}$