J'ai récemment vu l'axiome de Zorn, et je pense ne pas l'avoir bien compris. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer en quoi consiste cet axiome, et de quelle manière il est lié à l'axiome du choix?
Cordialement
Posted by: Galt
J'ai trouvé ça Zorn
Mais je ne saurais pas facilement le résumer
Posted by: Alpha
Merci beaucoup, Galt!
Tout cela m'a l'air assez complet, je pense que ça devrait bien répondre à mes interrogations!
Cependant, si vous avez d'autres informations complémentaires ou commentaires à faire sur le sujet, n'hésitez pas!
Cordialement
Posted by: phenomene
C'est nettement hors-programme en spé ! Le lemme de Zorn est une reformulation pratique de l'axiome du choix qui permet de faire des "récurrences transfinies" (en gros, des raisonnements par récurrence pour une propriété non indexée par l'ensemble des entiers naturels mais par un ensemble bien plus gros comme par exemple l'ensemble des réels). C'est le point de départ de nombreuses preuves d'existence non constructives (on affirme que tel objet existe sans être capable de le construire explicitement).
Un tel axiome est très utile en analyse fonctionnelle (sans ce résultat on ne peut pas faire grand chose) mais entraîne des paradoxes rigolos comme celui de Banach-Tarski (en gros, tu peux prendre la boule unité d'un espace euclidien qui t'est familier, la découper en morceaux tordus (suffisamment pour qu'on ne puisse pas définir leur volume), puis recoller les morceaux pour obtenir... deux boules identiques à celle de départ ! ).
Souvenirs, souvenirs... le premier bouquin que j'ai emprunté à la bibliothèque en arrivant à l'école normale s'intitulait "The Axiom of Choice" : quand on est jeune, on a une soif d'absolu au point d'être obsédé par les fondements !
).