autres méthodes

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Posted by: nada-top

bonsoir,

soit la fct f définie par : f(x) = \frac{1+cosx}{sinx}

je cherche à déterminer la fct réciproque f^{-1} définie de ]1,+\infty[ \to ]0,\frac{\pi}{2}[ par plusieurs méthodes .

la méthode que je vois pour le moment c'est poser X=sinx ou X=cosx , simplifier l'expression de f(x) puis déterminer la fct réciproque.

y-a-t-il d'autres méthodes ?

merci


Posted by: tize

Avec \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} sur [0;\pi/2] et
y=\frac{1+\sqrt{1-\sin^2(x)}}{\sin(x)} et en essayant d'exprimer x en fonction de y... mais je pense que cela revient à faire ce que tu proposes déjà... de manière vraiment différente, je ne vois pas.

Juste comme ça, je trouve : f^{-1}(x)=\arcsin\(\frac{2x}{x^2+1}\)


Posted by: nada-top

salut ,

merci tize ..je trouve pareil en posant X=sinx en fait ça revient au même .
et je trouve meme que f^{-1}(x) = Arccos\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) , en posant X=cosx .
maintenant il ya arccos , arcsin .je cherche une autre forme avec arctan

mais d'abord je crois que f^{-1} est définie de R \to ]0,\frac{\pi}{2} [ n'est-ce pas ?

merci


Posted by: tize

cela dépend, si tu définis f sur ]0;\pi/2] alors f réalise une bijection de ]0;\pi/2] sur [1;+\infty[ et dans ce cas on se doit de dire que f^{-1} est définie sur [1;+\infty[ ...

Mais comme tu l'as remarquer on peut définir f de [-\pi/2;\pi/2]\{0} dans ]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[ (bijection aussi) et dans ce cas f^{-1} est définie de ]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[ dans [-\pi/2;\pi/2]\{0}


Posted by: nada-top

oui en fait il est donné que f est définie sur ]0;\frac{\pi}{2}[ ..
donc f réalise une bijection de ]1;+\infty[ sur ]0;\frac{\pi}{2}[..

je vois une autre forme de f^{-1}(x) en posant X=tanx , mais j'en suis pas sure f^{-1}(x) = Arctan\left(\frac{2x}{x^2-1}\right) = 2Arctan(x)

non?


Posted by: tize

Montre moi comment tu fais ...stp


Posted by: nada-top

ben en posant X=tanx on a f(x) = \frac{cos(x)+1}{sin(x)} = \frac{cos(Arctan(X))+1}{ sin(Arctan(X)) } = \frac{\sqrt{1+X^2}+1}{X} (on sait que sin(ArctanX) = \frac{X}{\sqrt{1+X^2}} et cos(ArctanX) = \frac{1}{\sqrt{1+X^2}}

maintenant on a f^{-1}(X) = y soit f(y) = X et on retrouve l'expression de X en fonction de Y .
je trouve X = \frac{2y}{1-y^2} donc x=Arctan(\frac{2y}{1+y^2}) i.e f^{-1}(x)=Arctan\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) = 2Arctan(x) (c'est cette dernière égalité dont j'en suis pas sure)


Posted by: rene38

Bonsoir

Il existe aussi des formules en fonction de http://www.maths-forum.com/images/l...87420c67f28.gif :
http://www.maths-forum.com/images/l...83a03f779de.gif et http://www.maths-forum.com/images/l...692e2d08398.gif à partir desquelles on écrit
http://www.maths-forum.com/images/l...329d9168ff2.gif
d'où http://www.maths-forum.com/images/l...51a15e0b03a.gif qui donne http://www.maths-forum.com/images/l...14674837ef2.gif
et http://www.maths-forum.com/images/l...b81ac257553.gif .


Posted by: nada-top

bonsoir,

mais moi j'ai x=2Arctan(y) ...je sais pas ou est mon erreur?

pourtant je suis tout à fait d'accord avec toi rene et on peut meme conclure que :f^{-1}(x) = 2Arctan(\frac{1}{x}) = \pi -2Arctan(x)










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