Mathématiques - exo arithmetique

exo arithmetique
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Posted by: aviateurpilot

salut les amis, ca fait logtemps que j'ai pa posté un exo sur ce forum.
voila un,

soit $4$ p$ un premier
soit la suite $4$ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ tel que
$4$ a_{n+1}=a_n+p[\sqrt[p]{a_n}]$
montrer que $4$ card(\{n\in\mathbb{N}:\ \sqrt[p]{a_n}\in \mathbb{N}\})=+\infty$

Posted by: ThSQ

<couic>grosse c*nerie</couic>

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par ThSQ

Je dois pas comprendre car si a_1 = 0 c'est faux et si a_1 > 0, a_n est à valeurs entières et strictement croissante donc c'est évident.

si $a_1=0$ alors $\forall n\ge 1:\ \sqrt[p]{a_n}=0\in\mathbb{N}$
donc le resultat est vrai

!!

et le fait que $a_n$ soit strictement croissante n'a pas de relation avec la solution

Posted by: ThSQ

Oulala, j'avais mal lu .....

Posted by: Imod

Les crochets désignent la partie entière , I presume ?

Imod

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Imod

Les crochets désignent la partie entière , I presume ?

Imod

oui

Posted by: Imod

Une remarque bête , il suffit de montrer qu'il existe un indice pour lequel $a_n$ est une puissance pième d'un entier .

Imod

Posted by: lapras

Exact Imod

Reste a la trouver

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Imod

Une remarque bête , il suffit de montrer qu'il existe un indice pour lequel $a_n$ est une puissance pième d'un entier .

Imod

oui bien sur,
voila le demo de ce que tu vien de dire.
ca si pour $a_0=a$ qui n soi pa une puissance p eme $\exist p(a)\in\mathbb{N}$ tel que $a_{p(a)}=b^{p}$
alors $S=\{n\in\mathbb{N}:\ a_n\ une\ puissance\ p-eme\}$ est infini. (demo par absurde).
si $h=max(S)$ alors $p(a_h)\in S$ et $p(a_{h+1})>h$ (absurde).

mais le probleme principal ici c'est monter que $S\neq \emptyset$

.
(dans ma demo j'ai modeliser le probleme avec des couple de $\mathbb{N}^2$ )

Posted by: lapras

salut
que veut dire p(a) ?

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par lapras

salut
que veut dire p(a) ?

ce que je vien de dire c'est pa la solution, mais il monter cette implication
$S\neq\emptyset$ ===> $card(S)=+\infty$

j'ai supposer qu'on a construit pour $a_0=a$ quelconque dans N.
un undice que j'ai nommer $p(a)$ tel que $a_{p(a)}$ puissance p-eme.

Posted by: aviateurpilot

N.B: je posterai ma solution apres demain

Posted by: lapras

salut aziz
Peux tu nous laisser un délai jusqu'à ce week end ? car pesonnellement (et ca peut etre valable pour d'autres) je n'ai pas trop le temps de chercher.

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par lapras

salut aziz
Peux tu nous laisser un délai jusqu'à ce week end ? car pesonnellement (et ca peut etre valable pour d'autres) je n'ai pas trop le temps de chercher.

, apres 7j alors

Posted by: Imod

Citation:

Posté par aviateurpilot

, apres 7j alors

Je crois que tu peux donner ta solution ou au moins un indice , personnellement je suis sec

Imod

Posted by: lapras

Oui du moment qu'on a pas a0 ca semble difficile...
En plus ca fait longtemps que j'ai pas vu de démos d'arithmétiques d'aviateur pilote, elles sont si élégantes !

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par Imod

Je crois que tu peux donner ta solution ou au moins un indice , personnellement je suis sec

Imod

ok,

1) $(h+1)^p-h^p\equiv 1[ph]$
2) on peux utiliser a la place de la suite a_n
la suite $(x_n,r_n)$ tel que :
i) $a_n=x_n^p+r'_n$
ii) $r_n\in\{0,1,2,....,(x_n+1)^{p}-x_n^p\}$
iii) $r_n\in\{0,1,...,px_n-1\}$
iiii) $r'_n\equiv r_n[hx_n]$
et etudie $x_n$ et $r_n$