Arithmétique

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Posted by: Zweig

Montrer que le nombre http://alt1.mathlinks.ro/Forum/late...e508a8e2624.gif est un produit de 2 entiers dont l'un d'eux est supérieur à 10^{2002}.


Posted by: ThSQ

J'imagine que c'est le moment ou jamais d'utiliser Sophie et sa formule magique (elle sert pas souvent mais elle est bien pratique) !

a^4 + 4b^4 = \left ({a}^{2}-2\,ab+2\,{b}^{2}\right )\left ({a}^{2}+2\,ab+2\,{b}^{2}\right )

Maintenant 5^6 - 1 est divisible par 4.


Posted by: Zweig

En effet, c'est déjà une très bonne étape.

En fait, Sophie Germain sert pas mal aux Olympiades quand même (Internationales et Nationales de tous les pays confondus). Par exemple :

- Olympiade Internationale 1969, exercice #1 : Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers a tels que n^4 + a ne soit premier pour aucune valeur de n.

- Est-ce que 4^{545} + 545^{4} est-il premier ?

- Compétition de Kürschak, 1978 : Montrer que pour tout entier naturel n>1, n + 4^n n'est pas premier.

Dans le même genre,

- Olympiade russe : Montrer que f(n) = 2^{2^{n}} + 2^{2^{n-1}} + 1 a au moins n facteurs premiers distincts.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par Zweig
Montrer que pour tout entier naturel n, n + 4^n n'est pas premier.


n > 1 quand même


Posted by: Zweig

Oui, j'ai oublié de préciser la condition sur n.










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