Exo arithmétique

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Posted by: raito123

Salut tout le monde,

Moi aussi je veux poster un exo d'olympiade mdr^^ :

Voilà résoudre l'équation \large a^2-5b^2=c^2 dans \large \mathbb{N^2}


A vous de jouer!!


Posted by: lapras

salut
Cette équation diophantienne fait intervenir des carrés : mon premier réflexe : l'étudier modulo 4
Un carré congru à 0 ou 1 mod 4
on a donc la liste des congruences mod 4 possible pour a, b et c :

a...b...c
0...0...0 (1)
1...1...0 (2)
Cas (1) : 0 , 0 et 0
alors
a = 4u
b = 4v
c = 4k
donc
16u² + -5*16v² = 16k²
d'où
u² - 5v² = k²
donc (u;v;k) solution du problème
donc (u;v;k) vérifient donc le cas (2) ou (3)
(sinon d'après le principe de descente infinie ca ne serait pas possible)


Cas (2) :
a = 4u+1
b = 4v + 1
c = 4k
alors
16u² -5*16v² + 8u - 5*8u + 1 - 5 = 16k²
<=>
2(8u² - 5*8v² + 4u - 5*4u -2) = 2*8k²
<=>

8u² - 5*8v² + 4u - 5*8u -2 = 8k²
<=>
4u² - 5*4v² + 2u - 5*4u - 1 = 4k²
<=>
2*(....) - 1 = 4k²
impossible
donc le cas (2) est impossible
reste le cas (3)
a = 4u + 1
b = 4v
c = 4k + 1
<=>
16u² - 5*16v² + 8u + 1 = 16k² + 8k + 1
<=>
16u² - 5*16v² + 8u = 16k² + 8k
<=>
2u² - 10v² + 8u = 2k² + k
donc k pair
donc k = 2k'
donc
2u² - 10v² + 8u = 8k'² + 2k
<=>
u² - 5v² + 8u = 4k'² + k
je crois que modulo 5 ca doit se finir (je dois partir désolé...)


Posted by: ThSQ

Lapras, je ne sais pas si tu essayes de montrer qu'il n'y a pas de solutions mais il y en a une infinité pour tout c vu que c'est une équation de Pell généralisée.


Posted by: lapras

j'essaye effectivement de montrer qu'il n'y a pas de solutions.
En tout cas s'il y en a c'est uniquement pour le cas (3)
Ma calculatrice n'a trouvé aucune solution pour a, b et c <= 10000


Posted by: ThSQ

(3,1,2) ?


Posted by: lapras

Oups j'avais mal fermé une paranthèse donc du coup mon programme ne fonctionnait pas...
Oui (3,1,2) est solution
Mais ma calculette n'en trouve pas d'autres


Posted by: raito123

Citation:
Posté par lapras
Oups j'avais mal fermé une paranthèse donc du coup mon programme ne fonctionnait pas...
Oui (3,1,2) est solution
Mais ma calculette n'en trouve pas d'autres


T'en veux une autre ? (9,4,1)


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Mais ma calculette n'en trouve pas d'autres


Si (a,b,c) est soluce (ka,kb,kc) en est une autre.

On peut montrer qu'il existe une infinité de soluces telles que pgcd(a,b,c)=1


Posted by: raito123

Citation:
Posté par ThSQ
(3,1,2) ?


En faite cette solution n'apparaît pas dans l'ensemble de solution que j'ai trouver moi!!!

J'ai procéder en remplaçant le c² par 1 et donc résoudre l'équation (E')a²-5b²=1 et à la fin j'ai multiplier le tout par le tout par c² donc si les solutions de (E') s'écrivent (a,c,1) alors les solution de l'équation proposer est (ac,bc,c)!!

Je vois que ce n'est pas la bonne démarche (plutôt ya un manque) !!!










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