Arithmétique TS!

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Posted by: raito123

Bonsoir,

Quelqu'un peut me montrer comment résoudre ce genre d'équation dans \large \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}
\large E : \bar{a}x=\bar{0}

J'en ai besoin !!!

Merci


Posted by: busard_des_roseaux

bonsoir,


1er cas:


a admet un inverse pour la multiplication, disons u.
l'équation (E) admet pour unique solution 0, comme on le voit
en multipliant les deux membres de l'égalité par u.

a possède un inverse ssi a et n sont premiers entre eux (calculer leur pgcd) .
l'inverse est donné par les coefficients de Bezout (u,v)
tels que:
au+nv=1

Ces coefficients de Bezout sont donnés par l'algorithme d'Euclide.

en particulier si n est premier, a non nul, est inversible.



2ème cas:
a n'admet pas d'inverse pour la multiplication.
Ceci arrive si d=pgcd(a,n) > 1.

on pose
a=d \times a'
n = d \times n'
avec a' et n' premiers entre eux.

On est ramené au cas précédent avec l'équation:

\exists k \in \mathbb{Z}

ax=kn
a' d x = k d n' (dans Z)
a' x = 0 dans Z/n'Z.


dodo


Posted by: Nightmare

Salut

Déjà Z/nZ est intègre lorsque n est premier.

Donc dans Z/pZ pour p premier ton équation a pour solution unique x=0

Maintenant dans Z/nZ où n est non premier je ne pense pas qu'il y ait de méthode.

Si a est inversible alors x=0
Si a n'est pas inversible il va falloir regarder au cas par cas.


Posted by: raito123

Merci pour vos réponses les gars

En fait ces deux cas je les connaissais déja le nouveau cas c'est quand a n'est pas inversible dans Z/nZ (c'est le but de l'exo)

Alors quelqu'un peut me montrer comment faire ?

Merci


Posted by: busard_des_roseaux

c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.


Posted by: raito123

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
2ème cas:

a n'admet pas d'inverse pour la multiplication.
Ceci arrive si d=pgcd(a,n) > 1.

on pose


avec a' et n' premiers entre eux.

On est ramené au cas précédent avec l'équation:

a' x = 0 dans Z/n'Z.


Merci

Je la fais et je te répond !!


Posted by: raito123

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.


Merci !!

Bonne nuit à toi !!(moi je vais approfondir car y a vraiment quelqu'un qui me cherche :) Il se reconnaitra )


Posted by: raito123

Citation:
Posté par busard_des_roseaux
c'est écrit dans mon post.

On remonte l'équation dans Z.

On divise par d=pgcd(a,n)

On redescend l'équation dans Z/n'Z avec n=dn'.


Donc pour simplifier : \large x\in \bar{n'}\mathbb{Z} = \{p\bar{n'} / p\in \mathbb{Z} \} Avec \large n'=\frac{n}{pgcd(a,n)}?










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