arithmetique

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Posted by: mostdu95

bonsoir
1)trouver l'exposant de 2 dans la décomposition de 1000! en facteurs premiers
2)de meme pour l'exposant de 3
1000!=1\times2\times3\times..........\times1000 =2^{0}\times2\times2(2-2^{0})......1000 mais j'arrive pas à trouver comme ça
quelqu'un aurai t'il une piste ??
merci d'avance


Posted by: tize

Bonsoir,
dans 1000!=1*2*3*4*5*6*.....*998*999*1000
on peut considérer que :
chaque nombre multiple de 2 peut augmenter de 1 l'exposant de 2 dans la décomposition de 1000!,
chaque nombre multiple de 4 va augmenter de 1 de plus l'exposant de 2 dans la décomposition de 1000! (car on a déjà compté les multiples de 2),
chaque nombre multiple de 8 va augmenter de 1 de plus l'exposant de 2 dans la décomposition de 1000! (car on a déjà compté les multiples de 2 et 4)
...
l'exposant de 2 dans la décomposition de 1000! est donc égal au nombre de multiples de 2 dans 1000 + le nombre de multiple de 4 dans 1000 + le nombre de multiple de 8 dans 1000 + le nombre de multiple de 16 dans 1000 +...
i.e.
E\(\frac{1000}{2}\)+E\(\frac{1000}{4}\)+E\(\frac{1 000}{8}\)+E\(\frac{1000}{16}\)+E\(\frac{1000}{32}\ )+E\(\frac{1000}{64}\)+E\(\frac{1000}{128}\)+ E\(\frac{1000}{256}\)+E\(\frac{1000}{512}\)
ou E est la partie entière...


Posted by: ThSQ

C'est la fameuse formule de Legendre :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle


Posted by: mostdu95

ahh d'accord merci beaucoup pour votre reponse donc pour l'exposant de 2 on somme jusqu'a 1000/2 ??
donc on peut dire l'exposant de 3 sera egale a :E(1000/3)+E(1000/6)+E(1000/9)+E(1000/12)+E(1000/15)+...........................+999/3


Posted by: tize

Citation:
Posté par mostdu95
ahh d'accord merci beaucoup pour votre reponse donc on peut dire l'exposant de 3 sera egale a :E(1000/3)+E(1000/6)+E(1000/9)+E(1000/12)+E(1000/15)

NON !

E(1000/3)+E(1000/9)+E(1000/27)+E(1000/81)+... on multiplie par trois à chaque fois...

Citation:
Posté par ThSQ
C'est la fameuse formule de Legendre :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle

Merci pour le lien, je ne connaissais pas cette formule.


Posted by: mostdu95

ah oui oui c'est vrai...........
DONC POUR L'EXPOSANT DE 3 ON S'ARRETE a 1000/729
c'est ça ??


Posted by: tize

Citation:
Posté par mostdu95
ah oui oui c'est vrai...........
DONC POUR L'EXPOSANT DE 3 ON S'ARRETE a 1000/729
c'est ça ??

Oui, c'est ça


Posted by: mostdu95

d'accord j'ai bien compris merci beaucoup^..!!


Posted by: bruce.ml

il n'y a pas besoin de s'arrêter où que ce soit
on va jusqu'à l'infini mais la suite est presque nulle ...










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