arithmetique

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Posted by: altusi

prouver que pour tout naturel n>0 il existe un naturel k>0 tel que 2^nk admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2

(pas vraiment dur...)


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par altusi
prouver que pour tout naturel n>0 il existe un naturel k>0 tel que 2^nk admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2

(pas vraiment dur...)

Ta notation est ambiguë. Tu veux dire \Large 2^{nk} ou \Large 2^n\times k


Posted by: altusi

Ah oui,c'est vrai,

c'est plutot (2^n) multiplie par k


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par altusi
prouver que pour tout naturel n>0 il existe un naturel k>0 tel que 2^nk admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2

(pas vraiment dur...)

\Large k=5^n par exemple : \Large 2^n \times 5^n = 10^n, soit 1 avec n "zéros". Pas mal le coup du 2 : c'était pour tromper l'ennemi ?


Posted by: phenomene

Citation:
Posté par Chimerade
\Large k=5^n par exemple : \Large 2^n \times 5^n = 10^n, soit 1 avec n "zéros". Pas mal le coup du 2 : c'était pour tromper l'ennemi ?


Il me semble que 0 est un chiffre distinct de 1 et 2...


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par phenomene
Il me semble que 0 est un chiffre distinct de 1 et 2...

OOOPS ! Tu as raison, merci de le remarquer ! Ca m'apprendra à lire !

Désolé Altusi, au temps pour moi, je n'ai rien dit


Posted by: Galt

C'est amusant, je ne connaissais pas.
Remarque :dans cete énigme, on peut remplacer 1 et 2 par n'importe quel couple de chiffres, s'il y en a un pair et un impair.
Je laisse chercher le forum.


Posted by: Non inscrit

Citation:
Posté par Chimerade
Ta notation est ambiguë. Tu veux dire \Large 2^{nk} ou \Large 2^n\times k

c vraiment difficile mais chwi encore en vacance" moi


Posted by: altusi

on pourra utiliser la recurrence par exemple!


Posted by: aviateurpilot

on pose U_n=2^nk_n avec U_n admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2

=> si k_n est pair alors on pose U_{n+1}=2\times10^n+U_n=2^{n+1}(5^n+\frac{k_n}{2})
=> si k_n est impair alors on pose U_{n+1}=10^n+U_n=2^n(5^n+k_n)=2^{n+1}(\frac{5^n+k_ n}{2})

dans les deux cas U_{n+1} divisible par 2^{n+1} donc il existe k_{n+1} tel que U_{n+1}=2^{n+1}k_{n+1} et en plus U_{n+1} a une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2

donc s'il existe U_{n_0} qui verifie qui admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2 et qui est divisible par 2^{n_0} alors quelque soit n>ou= n_0
U_n verifie les conditions
or on a 1 et 2 verifie ces conditions donc pour tout naturel n>0 il existe un naturel k>0 tel que 2^nk admet une representation decimale ne contenant que les chiffres 1 et 2


Posted by: yos

L'exposant du 10 n'a aucune raison d'être n à mon avis. Il faut un exposant
f(n) par exemple


Posted by: aviateurpilot

Citation:
il existe un naturel k>0

on veux seulement montrer l'existance
moi j'ai fait un exemple


Posted by: yos

J'ai bien compris mais tes Un ne conviennent pas tels qu'ils sont construits. Il faut que U_{n+1} soit fabriqué en tenant compte du nombre de chiffres de Un .
u_{n+1}=10^{\text{nombre\ de\ chiffres de \ }u_n}+u_n, dans le cas où kn est impair par exemple.


Posted by: aviateurpilot

on prend par exemple U_1=2
dans ce cas U_2 va etre construi pas 2 chiffres
et U_3 de 3 chiffres
...
..
....et U_n de n chiffres
alors si on ajoute 10^n ou 2\times10^n c comme si on ajoute 1 ou 2 à gauche de la representation de U_n (dans la base 10)


Posted by: yos

Oui c'est bon. J'avais lu un peu vite. Elle est bien ta suite.


Posted by: aviateurpilot

ok yos










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