Mathématiques - Arithmétique

Arithmétique - I
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: igor

Montrer que pour tout entier $s$ ( $s\in \mathbb{N}$ ), il existe un entier $n$ divisible par $s$ et dont la somme des chiffres soit égale a $s$ ( $n$ est écrit dans le système décimal).

Bonne chance :-) (exercice assez difficile)

Posted by: Galt

Une réponse partielle :
Supposons p premier différent de 2 et 5. Je considère le nombre $n_1$ écrit avec $p-1$ chiffres 1, et j'appelle r son reste modulo p (je le suppose non nul pour l'instant).
Je sais que $10^{p-1}$ est congru à 1 modulo p, et en supposant que 10 est un générateur du groupe multiplicatif de Z/pZ, une des puissances de 10 à partir de $10^{p-1}$ sera congrue à -r modulo p. Finalement, en metant un 1 à cet endroit, puis des zéros et ma suite de $p-1$ chiffres 1, je forme bien un nombre dont la somme des chifres est p , et multiple de p
Le problème, c'est que 10 n'est pas toujours générateur du groupe multiplicatif, par exemple pour p =13
J'en suis là pour l'instant
Je pense quand même qu'on doit pouvoir fabriquer ce nombre en utilisant seulement les chiffres 0 et 1, et étendre à n'importe quelle base de numération
Gqlt

Posted by: pianozik

Je ne pense pas que ça marchera juste pour les nombres composés de http://www.maths-forum.com/images/l...ff9f98764da.gif et http://www.maths-forum.com/images/l...09a6f75849b.gif , par example si on prend le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...fd9f2a7baf3.gif , on a http://www.maths-forum.com/images/l...58d2b870b89.gif

Mais la méthode que vous avez appliquée dépasse le niveau où on est, peut être on aura ça en terminale, cependant, je n'ai rien pigé de la démonstration.
Moi j'ai essayé avec des polynômes, http://www.maths-forum.com/images/l...4fb924e1d63.gif http://www.maths-forum.com/images/l...deb4eca5a43.gif http://www.maths-forum.com/images/l...a0985fb5b57.gif
Donc http://www.maths-forum.com/images/l...7ae2c30f034.gif http://www.maths-forum.com/images/l...fffea512721.gif http://www.maths-forum.com/images/l...0a097cd480a.gif http://www.maths-forum.com/images/l...eebd664c75f.gif
Par la division euclidienne, je dois trouver un polynôme dont les coefficient sont des entiers, et à la fin, on donne http://www.maths-forum.com/images/l...304235bd26d.gif et d'ici, la troisème polynôme http://www.maths-forum.com/images/l...dc7030da8ab.gif sera de http://www.maths-forum.com/images/l...486fa6c0ebb.gif pour http://www.maths-forum.com/images/l...64e155c67a6.gif égale à un certain nombre (http://www.maths-forum.com/images/l...09a6f75849b.gif par example), mais jusqu'à mnt, la division me conduit vers des déductions lointaine. Peut être le chemin est long, mais donnez moi votre avis, merci en avance. Ah ! tjrs je cherche une autre méthode plus simple, peut être je garde les polynômes mais je simplifie la méthode (si le mot simplifier va dans cette place, lol)
merci

Posted by: Galt

Je n'écris que des conneries
Quand p est premier (diférent de 2, 3 ou 5), le nombre composé de $p-1$ chiffres 1 est toujours un multiple de p (puisqu'il vaut $\sum_{k=0}^{p-2} 10^k\ = \frac{10^{p-1}-1}{10-1}\$ ) et que justement, p étant premier, $10^{p-1}$ est congru à 1 modulo p, et donc mon reste est nul. Je ne peux donc pas ajouter de chiffre 1 à gauche si facilement. Je décale donc le dernier 1 vers la gauche. Pour l'instant, la somme des chiffres est $p-1$ , et mon nombre(1011...1) s'écrit donc $kp-10^{p-1}+10^p$ , il est donc congru à $10^p-10^{p-1}=9.10^{p-1}$ soit à 9 modulo p.
Si maintenant je peux trouver une puissance de 10 congrue à -9 modulo p je vais m'en sortir.

Posted by: pianozik

Peut être j'ai une diée, est-ce qu'on peut démontrer par récurrence ? j'ai essayé par récurrence et peut être ça marche, bon je vais l'écrire.
Pour le nombre http://www.maths-forum.com/images/l...7ae2c30f034.gif http://www.maths-forum.com/images/l...fffea512721.gif http://www.maths-forum.com/images/l...a6bb436b219.gif , http://www.maths-forum.com/images/l...f477e400c72.gif (p)

Pour http://www.maths-forum.com/images/l...0451fe67af1.gif

http://www.maths-forum.com/images/l...7bfd833709a.gif et http://www.maths-forum.com/images/l...7ae2c30f034.gif http://www.maths-forum.com/images/l...461c4a52b84.gif et par conséquent, le quotient donne http://www.maths-forum.com/images/l...09a6f75849b.gif qui est un entier

On suppose (p). Soit http://www.maths-forum.com/images/l...0fb97a8c47a.gif un entier.http://www.maths-forum.com/images/l...55f7423615c.gif http://www.maths-forum.com/images/l...1cc61856915.gif

... à la fin on trouve que c'est vérfié pour http://www.maths-forum.com/images/l...2a2794e2f0e.gif ou http://www.maths-forum.com/images/l...968dcf4e271.gif
Mais bon, je ne suis pas sûr

Posted by: Galt

A mesure que je deviens vieux
Je m'en aperçois mieux
J'ai le cerveau qui flanche
Soyons sérieux disons le mot
C'est même plus un cerveau
C'est comme de la sauce blanche (Boris Vian)
Si p est premier (diférent de 2 ou 5), il existe une puissance de 10 congrue à 1 modulo p (au pire $10^{p-1}$ ). appelons la k . Il est évident que $10^k$ , $10^{2k}$ ... $10^{pk}$ sont tous congrus à 1 modulo p, et leur somme $\sum_{i=1}^p10^{ik}\$ est donc congrue à p modulop , et a bien pour somme des chiffres p
Pour un nombre non premier, je continue à chercher
Galt

Posted by: Galt

Je le tiens (mais qu'est ce que ça a été laborieux)
Si 10 est premier avec s , alors il existe une puissance de 10 (différente de 1) congrue à 1 modulo s . En effet, les s nombres $10^0,10^1...10^{s-1}$ ne peuvent pas avoir de reste nul dans la division par s , deux restes sont donc égaux. On a donc $10^a = 10^b$ modulo s , donc $10^{a-b} = 1$ modulo s . Appelons donc k cette puissance. Les s nombres 1, $10^k$ , $10^{2k}$ ... $10^{(s-1)k}$ sont tous congrus à 1 modulo s , leur somme est un multiple de s , et elle s'écrit avec s chifres 1 (et un paquet de chiffres 0).
Si maintenant 10 n'est pas premier avec s , on écrit $s=2^a5^bq$ avec q premier avec 10, on écrit le nombre multiple de q avec q chiffres 1, qu'on répète $2^a5^b$ fois pour que la somme des chiffres soit s . C'est encore un multiple de q . Pour en faire un multiple de s , on ajoute autant de zéros qu'il le faut à droite (sup (a ,b ).
Cette démonstration marche pour toutes les bases
Ouf

Posted by: aviateurpilot

on prend n=s
car s est divisible par s , et la somme des chiffres de s est s

Posted by: Patastronch

Citation:

Posté par aviateurpilot

et la somme des chiffres de s est s

Tu sors ca d'ou ?

un contre exemple : 10

Posted by: aviateurpilot

ooooooooooooopss

Posted by: altusi

posons s=(2^p)*(5^q)*t tel que t soit premier avec 2 et 5.
et désignons par f(t) l'indicateur d'Euler.
on s'apreçoit que n=(10^(a+b))(10^f(t)+10^2f(t)+....+10^sf(t)) convient car

10^kf(t)=1 mod(t) pour tout k appartenant à {1,2,...s}