Soient 
, et 
. On se propose de déterminer la puissance de 
figurant dans la décomposition en facteurs premiers de 
.
le plus grand entier 
tel que 
.![k \in [1;q_n]](http://www.maths-forum.com/images/latex/2001a227c8aa48c3cc0322be333bcbc0.gif "k \in [1;q_n]")
, le nombre de multiples (au sens large) de 
inférieurs ou égaux à 
est 
., le nombre de multiples de exactement inférieurs ou égaux à . recherchée faisant intervenir une somme, puis après simplification, en déduire que cette puissance est :
| un multiple exactement de p^k est un multiple de p^k qui n'est pas multiple de p^(k+1) |
(avant il était fixe), mais le problème c'est que je ne vois pas exactement comment !
.
et de 
figurant dans la décomposition de 
en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre 
figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?)
|
Posté par pouik
- Montrer qu'il suffit de connaître les puissances de
et de figurant dans la décomposition de en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?) |
le nombre de 0 figurant à la fin de 2007!, cela signifie que 
, où A est un entier naturel qui n'est pas divisible par 10, donc non divisible par 2 ou non divisible par 5... |
- Résoudre entièrement le problème. |
|
Posté par pouik
- Montrer qu'il suffit de connaître les puissances de
et de figurant dans la décomposition de en facteurs premiers pour trouver le nombre de chiffre figurant à la fin de l'écriture du nombre (Mieu : il suffit de connaître seulement la puissance de , pourquoi ?) |
tel que 
et 
. donc 
car le nombre de multiples de 5 et plus petit que le nombre de multiples de entre 
et 
.
donc 
est differente de , contient 
""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de
| donc 2007! contient b ""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de 2007! |
|
Posté par pouik
donc 2007! contient b ""0"",c'est la puisance de 5 dans la decomposition en facteurs premiers de 2007!
|
| Résoudre entièrement le problème, |
(i.e. la puissance à laquelle il faut s'arrêter) ?
|
Posté par pouik
oui mais dans notre situation, que vaut
(i.e. la puissance à laquelle il faut s'arrêter) ? |
) sont tous egal a 0 car pour 
; 
|
Posté par pouik
PS : pour aviateurpilot,
J'ai un exo sur la fonction indicatrice d4euler (c'est de l'arithmétique comme vous aimez) que je n'arrive pas à résoudre entièrement. Donc si vous êtes preneur, ça m'arrangerais énormément. |
supérieur ou égal à :
désigne l'ensemble des entiers ![k \in [ 1;n ]](http://www.maths-forum.com/images/latex/70f4ce8528c0d8aecdeea334a192afa8.gif "k \in [ 1;n ]")
tels que 
.
désigne le cardinal de , c'est-à-dire est le nombre d'entiers compris au sens large entre et qui sont premiers avec .
... Soit .
et en déduire 
.
, où 
. On déterminera d'abord les entiers de ![[ 1;p^{\alpha} ]](http://www.maths-forum.com/images/latex/8b1f7204670a79ebc5f606f7c36de2bb.gif "[ 1;p^{\alpha} ]")
qui ne sont pas premiers avec .. Soient ![n, m \in [ 2;+\infty ]](http://www.maths-forum.com/images/latex/fa75c7c4c43090dbe0b1bc9ce294e65d.gif "n, m \in [ 2;+\infty ]")
tels que 
.
qui à tout couple ![(a;b) \in [ 0;m-1] \times [ 0;n-1 ]](http://www.maths-forum.com/images/latex/1466e85e38881f2c88847b9e1930299f.gif "(a;b) \in [ 0;m-1] \times [ 0;n-1 ]")
associe le reste de la division euclidienne de 
par 
, situé, dans ![[ 0;mn - 1]](http://www.maths-forum.com/images/latex/c2880adba2a50957cba95a122e66d158.gif "[ 0;mn - 1]")
. est injective.
est bijective. induit une bijection de 
sur 
, et conclure. pour quelconque... Soit ![n \in [2;+\infty]](http://www.maths-forum.com/images/latex/26a6c4868aece5698d0fd26725131028.gif "n \in [2;+\infty]")
et 
sa décomposition en facteurs premiers. Etablir :
![\epsilon_{p^{\alpha}}=[1,p^{\alpha}] \setminus \{kp\,/\,1\leq k \leq p^{\alpha-1}\}](http://www.maths-forum.com/images/latex/0a6aaff110705b7f7652b158a6523772.gif "\epsilon_{p^{\alpha}}=[1,p^{\alpha}] \setminus \{kp\,/\,1\leq k \leq p^{\alpha-1}\}")
)
est injective et si 
alors est bijective.
et 
(déjà là je suis pas sûr du pourquoi !)
à partir de ce qui précède (Là non plus je ne comprends pas pourquoi il faut faire ceci !)
il faut prouver que  est premier avec et comme  et sont premiers entre eux il suffit de prouver que est premier avec et avec :
|
et 
alors 
| mais on veut que r soit dans tmn lorsque a est dans tm et b dans tn |
|
Posté par fahr451
an+bm = mnq + r soit d un diviseur commun à m et r alors d divise an mais comme comme d est premier avec n on a d divise a et d est commun à m et a donc d = 1 idem avec n . donc la restriction f * de f est bien définie elle reste injective comme restriction d une injection reste à prouver que f* est surjective soit r ds tmn comme f est surjective il existe a et b tels que f(a,b) = r reste à prouver que nécessairement a est premier avec m et b avec n (un peu comme je l'ai fait avant) |
|
Posté par fahr451
soit donc d diviseur commun de m et r
d divise mnq +r - bm = an oui ou non ? |
et de à la place de ce qui est souligné ?|
Posté par fahr451
on fait la somme de tous les exposants de p présents dans n!
il y a E(n/p) -E(n/p^2) nbres qui ont 1 comme puissance de p il y a E(n/p^2) -E(n/p^3) nbrs qui 2 .......... il y a E(n/p^k) E(n/p^(k+1) nbrs qui ont k ....... ( k fixé ) d'où un exposant total ds n! égal à 1[(E(n/p)-E(n/p^2) ] + 2 (E(n/p^2)-E(n/p^3)] +...+q(n)E(n/p^(q(n)) égal à E(n/p)+E(n/p^2) +... +E(n/p^(q(n))par simplification |
-