Mathématiques - arithmetique concours general

arithmetique concours general
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: Mikou

Voila le premier exercice du C.G mathématiques 2006, selon moi il na rien a faire dans une telle épreuve étant donné la simplicité, bref je le soumet aux membres du forum, un peu d'émulation ....

Si n est un entier naturel strictement positif on note $\overline{a_i a_{i-1} ... a_1 a_0}$ sont écriture décimale; les entiers $a_j,0 \leq j \leq i$ sont compris entre 0 et 9, de plus $a_i \not= 0$
On note q un entier fixé compris au sens large entre 0 et 9, notons $p=10q-1$
On note $f_q$ la fonction qui a n associé l'entier $f_q(n)= \overline{a_i a_{i-1} ... a_1}+qa_o$
On definie la suite $n_k$ la suite de premier terme $n_0 = n$ dont le lien de récurrence est $n_{k+1}=f_q (n_k)$

1°) vérifier que $f_q(n)= \frac{n+pa_0}{10}$ . En déduire que $f_q(p)= p$
2°)
a- montrer que si m > p, alors $f_q(m) < m$
b- en déduire que pour tout entier n, il existe un entier j tel que $n_j \leq p$
3°)
a-montrer que si m < p, alors $f_q(m) < p$
b-en déduire que pour tout n la suite $n_k$ est périodique a partir d'un certain rang
4°)Établir que pour tout entier n, $f_q (n)$ est congru a q*n modulo p
5°)Pour quelles valeurs de q la fonction admet des points fixes autres que p? Quels sont alors ces points fixes ?
6°)Montrer, que pour des choix convenables de q, la suites $n_k$ associée a un entier n, fournit des critères des divisibilité de n par 9,19,13,29,49 et 7. Énoncer ces critères.

Bonne chance

Posted by: Mikou

personne ne veut esquiser une reponse ?

Posted by: nyafai

allez en ce moment, j'ai un peu de temps.

1) on a :

$n= \overline{a_i a_{i-1} ... a_1 a_0}= 10 \overline{a_i a_{i-1} ... a_1}+a0$

et :

$\frac{n+pa_0}{10}= \frac{10 \overline{a_i a_{i-1} ... a_1}+(p+1)a0[\tex]}{10}=\overline{a_i a_{i-1} ... a_1}+qa0=f_q(n)$

car p+1=10q

pour q différent de 0 p=10q-1 donne a0=9 et $f_q(p)=\frac{p+9p}{10}=p$

2)a)on a : $f_q(m)-m=\frac{pa_0-9m}{10}\le\frac{9(p-m)}{10}$
car $a_0\le9$
et comme p<m, on a le résultat

b)par l'absurde, si pour tout j, nj>p alors nj est une suite strictement décroissante par a) (car nj+1=f(nj)<nj)) les nj, seraient donc tous distincts, en nombre infini et compris entre p et n, d'ou la contradiction
3)a) on a : $f_q(m)-p=\frac{m+p(a_0-10)}{10}\le\frac{m-p}{10}$
car a0-10<-1 et comme m-p<0, on a le résultat

pour la b ca me parait clair vu qu'il ya un nombre fini d'entiers entre 0 et p et qu'on repassera donc forcément en un entier qu'on a déja visité en appliquant fq plusieurs fois et à partir de lui , on tourne en boucle mais j'ai la flemme de continuer et de montrer ca proprement. (j'imagine qu'il faudrait faire un raisonnement par l'absurde encore)
je ferai peut-etre la suite une autre fois

à plus

Posted by: Mikou

pour la b) c'est exact mais ca ne constitue qu'une partie seulement de la reponse, tu demontre en effet lexistance de j tel que $n_j \leq p$ mais il ya une restriction sur j, en effet c'est le meme que dans lecriture decimale de n, tu a donc $0 \leq j \leq i$

Pour la b en gros c'est ca meme si c'est assez mal redigé

Posted by: Mikou

je prend le signe = comme etant le signe congruence pour la 4 ( qq1 connait-il la commande latex ? )

$\frac{n+pa_0}{10} =qn [p]$ ?
$n+pa_0 =10qn [p] ?$
comme pa_0 est congru a 0 modulo p, on aurait donc
$n-10qn = 0 [p]$ ?
soit
$-np = 0 [p]$ ?
c'est qui est vrai donc pour tout n $f_q (n)$ est congru a q*p modulo p

Posted by: Nightmare

Bonjour Mikou

\equiv entre les balises TeX

$\rm \equiv$

Posted by: Mikou

merci bien nightmare

Posted by: nyafai

Citation:

pour la b) c'est exact mais ca ne constitue qu'une partie seulement de la reponse, tu demontre en effet lexistance de j tel que $n_j \leq p$ mais il ya une restriction sur j, en effet c'est le meme que dans lecriture decimale de n, tu a donc $0 \leq j \leq i$

en fait je comprends pas trop le problème de ma démo : j'ai bien démontré qu'il existe un j tel que nj<p et c'est ce qu'on demandait non? et c'est quoi le i dont tu parles?

pour la 3b je n'ai tout simplement pas fait de démo mais juste donné l'idée

au fait j'ai fait la fin :

5) on a :fq(n)=n équivaut à $n=\frac{pa_0}{9}$ et n entier finissant par a0 . le point fixe p est toujours la et correspond au cas a0=9. pour avoir d'autre points fixes, il faut que pa0 soit divisible par 9 et a0 différent de 9. pour q compris entre 1 et 9, p ne peut pas être divisible par 9 sauf pour q=1 (il suffit de regarder tous les cas) donc il faut (p divisible par 3 et a0=3 ou 6 (divisible par 3 et a0<>9) )ou q=1.

p divisible par 3 et a0=3 ou 6 (divisible par 3 et a0<>9) :

ce n'est possible que pour q=4 (alors p=39 divisible par 3) ou q=7( alors p=69=3*23).
Les invariants de f4 sont donc 3p/9=13 et 6p/9=26 et p=39
les invariants de f7 sont donc 3p/9=23 et 6p/9=46 et p=69

q=1
alors p=9 et les invariants de f1 sont:
1,2,3,...7,8,9

pour tout les autres q, le seul invariant est p.

6) On peut démontrer que "n est divisible par a si et seulement si tous les nk sont également divisibles par a pour un q convenable adapté à a"

je mets ici la liste des q qui conviennent pour le a correspondant :
a=9 : q=1
a=19 : q=2
a=13 : q=4
a=29 : q=3
a=49 : q=5
a=7 : q=5

je ne vais faire la démo que pour par exemple a=13 parce que pour les autre a ,c'est analogue:

il suffit de montrer que si n est divisible par 13, alors $f_4(n)$ est divisible par 13 et une récurrence immédiate montre que tous les nk sont divisibles par 13

soit n divisible par 13
on a : $f_4(n)\equiv 4n[10*4-1]$ par 4)
et : $f_4(n)\equiv 4*13k [39]$ car n divisible par 13
d'où $f_4(n)$ divisible par 13

ainsi si on veut voir si 143 est divisible par 13, on fait f4(143)=14+4*3=26 qui est bien divisible par 13 donc d'après mon critère, 143 est bien divisible par 13.
voilou s'il y a des erreurs où s'il ya besoin de plus de détails sur les passages où j'ai été un peu vite no problem
A plus

edit : j'avais fait une erreur dans mon 5) mais je pense que cette solution-la est bonne

Posted by: Mikou

le i est le meme que celui de $a_i$ dans lecriture decimale de n

Posted by: nyafai

je pense que c'est un hasard si ils ont appelé le j de la question 2b comme celui de la représentation de n en (aj). En relisant l'énoncé, je me dis qu'ils auraient aussi bien pu l'appeler k, d'autant plus qu'ils ne font pas allusion au fait qu'il s'agit du même j que dans la représentation de n. Donc, à mon avis, ma démonstration suffit. Mais si tu arrives à le démontrer avec 0<j<i, ca m'intéresse.
à plus

Posted by: Mikou

Non, je dois bien avoué que c'est le seul point de l'exo ou je chute. Tu as raison c'est ambigue mais normalement c'est le meme que dans lecriture decimale. J'ai essayer avec qq valeures et ca a tjs marché