Arithmétique : coefficients binomiaux

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Posted by: lapras

Citation:
Soit n un entier positif ou nul tel que pour tout 0 <= k <= n, (k , n) est impair.
Montrer que n = 2^m − 1 pour un entier m.

(k , n) c'est "k parmis n" (ou Cnk)


Bon courage


Posted by: aviateurpilot

on peux tjrs ecrire n=2^{m}+h avec h\in \{0,1,2,....,2^{m}-1\}.

supposons que h+1&lt;2^{m} on prend k=2^{m}-1.
dans ce cas on a [\frac{n}{2^{m}}]=1&gt;0=[\frac{k}{2^{m}}]+[\frac{n-k}{2^{m}}].
et on a \forall h\in\mathbb{N}:\ [\frac{n}{2^{h}}]\ge [\frac{k}{2^{h}}]+[\frac{n-k}{2^{h}}].
donc A=\bigsum_{h=1}^{+\infty}[\frac{n}{2^{h}}]-\bigsum_{h=1}^{+\infty} [\frac{k}{2^{h}}]+[\frac{n-k}{2^{h}}]&gt;0
et sais deja que 2^{A} divise C_{n}^{k} qui sera donc pair (absurd).

donc h+1=2^{m} et dans ce cas n=2^{m+1}-1


Posted by: lapras

Bravo !
Démonstration tres agréable visuellement, mais plutot difficile a comprendre car elle est tres condensée.
Mais c'est juste !

Autre preuve :
Théoreme de lucas
soit p un nbre premier
n décomposé en base p de facon unique :
n = a0 + a1*p + ... + a_i*p^i
de même
k = b0 + b1*p + ... + b_i*p^i

alors
(n , k) = (a0 , b0)*(a1, b1) * ... * (a_i , b_i) [mod p]
En tenant compte du fait que (n , k) est impair pour TOUT k, on démontre facilement que pour tout i, a_i = 1
donc en base 10
n = 2^(i+1) - 1


Posted by: ThSQ

On peut aussi raisonner modulo 2 :

(a+b)^{2^n} = a^{2^n} + b^{2^n}
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