Bonjour a tous, j'ai participé aux Olympiades de math en Belgique et je suis qualifié pour les demi finales.
Je voulais vous demandez quelques conseils et petits trucs pour résoudre certains problème que je n'arrive pas a résoudre.
Merci à vous.
Quel est le plus petit naturel qui peut, de deux manières différentes, se factoriser en un produit de deux facteurs distincts, différents de 1, et de meme parité ? (Deux factorisations sont considérées comme identiques si elles ne diffèrent que par l'ordre des facteurs.)
Posted by: Rain'
Soit n ce nombre.
Comme tout nombre naturel, n admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers. Déjà on peut remarquer que n n'est pas premier sinon l'un des deux facteurs est toujours 1.
Si on veut que n s'écrive de deux manières différentes comme produit de facteurs distincts alors n = a*b*c avec a,b,c différents de 1.
donc n = ab*c = a*bc. Reste plus qu'à trouver a,b,c.
On va raisonner suivant si les facteurs sont pairs ou impairs.
1) Si ab et c sont pairs.
Comme c est pair , bc aussi donc par a l'est aussi (car a et bc doivent avoir la même parité). donc a et c sont pairs et b peut être pair ou impair ça ne change pas l'hypothèse.
Or a est différent de c car s'ils étaient égaux on aurait n = ab*a = a*ab ce qui est la même factorisation donc interdit.
On choisit donc pour a et c les deux plus petits entiers naturels pairs soit 2 et 4 . b est différent de 1, b est différent de 2 car sinon ab=c et les facteurs ne seraient pas distincts. Pour minimiser n on peut prendre b=3 soit n = 24 = 12*2=6*4.
2) Si ab et c sont impairs alors , a,b et c sont impairs. mais a,b et c sont plus grand que 1 donc a,b,c valent au moins 3 donc n =abc 3^3 = 27 qui est supérieur a 24 donc c'est bien 24 le plus petit.
Posted by: foreigner
Ok merci, ton explication est tres claire.
Une autre question sur laquelle je n'arrive pas a trouver le truc
Quel est le reste de la division de 3^1999 par 11 ??
Expliquer moi le truc please.
Merci ;)
Posted by: Rain'
Le reste de 3^5 par 11 vaut 1 donc le reste de (3^5)^n par 11 vaut 1^n soit 1.
Donc le reste de 3^1995 par 11 vaut 1 et donc le reste de 3^1999 par 11 vaut le reste de 3^4 par 11 c'est à dire 4.
tu as déjà vu les congruences ?
Posted by: foreigner
non je ne pense pas avoir vu cela.
Donc si je suis ton résonnement, le reste de la division de 2003^2002 par 7 est 1
vu que le reste de 2003/7 = 1 ???
un petit dernier; Quel que soit l'entier n, s'il existe des entiers non nuls a et b que n= a² + 2b², alors il existe des entiers non nuls p et q tels que n²= ?
Si vous voulez d'autres enigmes, j'en ai plein.
Merci
3^3 = 27 qui est supérieur a 24 donc c'est bien 24 le plus petit.