Proposition--> l'ensemble des Z^Z des toute les applications de EZ vers
Z n'est pas denombrables,
demonstration, suposons que Z^Z est denombrable, et donc, il existe une
bijection N->Z^Z : n->f(n)
Nous construisons alors une fonction g: Z->Z en prenant,
-pour z<0: g(z) quelquonque;
-pour z>=0: g(z) different de f(z)
alors...
et la , il faut continuer, mais je ne comprend deja pas les trois
dernieres lignes. je sais qu'il faut utiliser l'argument de la
diagonale, mais j'arrive pas a deja contuire un exemple de rocntion n-> Z^z
qqn pourait il m'aider
merci
a++
Posted by: Jean-Jacques Rétorré
Le Sat, 10 Jan 2004 10:05:53 +0100
elekis <elekis@hotmail.com> écrivit:
> voila, j'arrive pas a achever cette preuve,
> Proposition--> l'ensemble des Z^Z des toute les applications de EZ
> vers Z n'est pas denombrables,
>
> demonstration, suposons que Z^Z est denombrable, et donc, il existe
> une bijection N->Z^Z : n->f(n)
On aurait pu dire aussi: supposons que les termes de Z^Z puissent se
ranger en une suite de fonctions f_n (n = 0 .. infini)
Cela revient à numéroter les éléments de Z^Z
Il s'agit maintenant de montrer qu'il existe (au moins) une fonction g
de Z^Z qui est différente de tous les f_n :
> Nous construisons alors une fonction g: Z->Z
> en prenant,
> -pour z<0: g(z) quelquonque;
> -pour z>=0: g(z) different de f(z)
comme z>=0, z est identifié à un entier naturel, z=n
Je pense qu'il y a une omission. Cela doit être g(z) =/= f_z(z).
Pour que deux fonctions soit différentes,
il suffit qu'elles soient différentes pour *une seule valeur* (ici c'est
z) donc g =/= f_z
g est alors différente *par construction* de toutes les fonctions f_n
pour toutes les valeurs de n dans IN
cqfd.
La méthode est exactement la même que pour démontrer que IR n'est pas
dénombrable.