Mathématiques - fct Arccos, Arcsin et Arctan

fct Arccos, Arcsin et Arctan
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Posted by: puce-choupinett

Bonjour !
J'ai un TD de maths à faire mais je ne comprends rien du tout

...(1ère année prépa)....
Comment montrer des expressions du genre cos(arctan x) = 1/ Racine(1-x²) ??
Quelqu'un connait une expression des fonctions Arccos, arcsin et arctan ?

Merci d'avance de votre aide parce que je suis vraiment perdue...

Posted by: Nightmare

Bonsoir,

Citation:

Quelqu'un connait une expression des fonctions Arccos, arcsin et arctan ?

Euh, qu'entends-tu par expression des fonctions?

Sinon pour cos(Arctan(x)) il y a plusieurs méthodes, comme la dérivation ou utiliser des identités trigonométriques.

Posted by: puce-choupinett

Merci de ta réponse rapide...
Oui mais une fois que c'est dérivé je fais quoi ??? Va falloir que je refasse une primitive après ?
Par expression je me demande si y'a pas un moyen d'exprimer ces fonctions en fonctions d'autre chose (ex ch = (exp x + exp -x)/2 )
en fait c'est surtout que je comprends pas trop ce que représentent ces fonctions...parece que bijection réciproque sur un intervalle réduit...ça me dit pas grand chose

Posted by: Nightmare

Non on n'a pas de moyen, sauf par des séries éventuellement.

Bref, ben Arccos et cos c'est la même chose que log et exp, qu'est-ce que tu ne comprends pas?

Posted by: puce-choupinett

D'accord c'est juste une bijection mais sur un petit intervalle. Par contre bijection je vois pas trop ce que c'est aussi...
Et euh vous parliez de dérivées pour aboutir à mon égalité mais une fois que j'ai dérivé mon expression de base, comment je peux aboutir à l'autre expression ?? faut refaire une primitive ensuite nan ?

Posted by: Quidam

Citation:

Posté par puce-choupinett

Bonjour !
J'ai un TD de maths à faire mais je ne comprends rien du tout

Une infinité de valeurs différentes de y sont telles que tan(y)=x. Mais une seule d'entre elles se situe dans l'intervalle $\Large ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$ . Cette valeur s'appelle arctan(x).

En d'autres termes, si y=arctan(x), alors x=tan(y) et $\Large y \in ]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$

Donc calculer cos(arctan(x)) c'est calculer cos(y), en sachant que ce cosinus est positif ! Ne sais-tu pas calculer cos(y) sachant que tan(y)=x ?

Posted by: SimonB

Citation:

Posté par puce-choupinett

D'accord c'est juste une bijection mais sur un petit intervalle. Par contre bijection je vois pas trop ce que c'est aussi...

Bijection, c'est une application tel que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un unique antécédent par la fonction dans l'ensemble de départ.
Par exemple, la fonction qui va de $\mathbb{R}+$ dans lui-même qui a tout nombre positif associe son carré est une bijection. La fonction exponentielle est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}+*$ . Etc.

Posted by: puce-choupinett

C'est déjà beaucoup plus clair...je vais maintenant je pense pouvoir y arriver !!!
Merci beaucoup pour vos réponses si rapides!

Posted by: marie-josèphe

Citation:

Posté par puce-choupinett

cos(arctan x) = 1/ Racine(1-x²) ??

Si l'on exprime cos en fonction de tan, c'est gagné
car $tan(arctan(x)):=x$

or,

$cos^{-2}=1+tan^2$ et $cos > 0$