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Posted by: rafbh

Bonsoir

Soit f une application surjective de E dans F.
Soit Bi une partition de F.
Mq f-1(Bi) une partition de E.

Merci


Posted by: fahr451

bonsoir

les Bi sont disjoints donc les f^(-1)(Bi) aussi


U Bi = F donc

U f^(-1) (Bi) = E

la surjectivité ne sert que pour montrer que ce sont des parties non vides


Posted by: Nightmare

Bonsoir

On a 3 choses à montrer, que les 3$\rm f^{-1}(B_{i}) ne sont pas vides, qu'ils sont deux à deux distincts et que leur réunion vaut E.

1) Ils sont non vides : Trivial par surjectivité de f.

2) Qu'ils sont deux à deux distincts.
S'il existe i et j tels que 3$\rm f^{-1}(B_{i})\capf^{-1}(B_{j})\no=\empty alors 3$\rm f^{-1}(B_{i}\cap B_{j})=f^{-1}(B_{i})\cap f^{-1}(B_{j})\no =\empty
On a alors 3$\rm B_{i}\cap B_{j}\no=\empty ce qui est absurde puisque les (Bi) forment une partition de E.

3) Si x est dans E alors il existe i tel que f(x) soit dans Bi et donc x est dans 3$\rm f^{-1}(B_{i})




Posted by: rafbh

pourquoi f-1(bi)interf-1(bj)=f-1(bi inter bj)???


Posted by: Arp

Soit x dans f^(-1)(Bi)interf^(-1)(Bj).
Alors x est dans f^(-1)(Bi) donc f(x) est dans Bi.
Et x est dans f^(-1)(Bj) donc f(x) est dans Bj.
Ainsi f(x) est dans (Bi)inter(Bj).
D'où x est dans f^(-1)((Bi)inter(Bj)).
Ainsi f^(-1)(Bi)interf^(-1)(Bj) est inclus dans f^(-1)((Bi)inter(Bj)).

Réciproque :

Soit x dans f^(-1)((Bi)inter(Bj)).
Alors f(x) est dans (Bi)inter(Bj).
Ainsi f(x) est dans Bi donc x est dans f^(-1)(Bi).
Et f(x) est dans Bj donc x est dans f^(-1)(Bj).
D'où x est dans f^(-1)(Bi)interf^(-1)(Bj).
Donc f^(-1)((Bi)inter(Bj)) est inclus dans f^(-1)(Bi)interf^(-1)(Bj).

On a ainsi l'égalité.










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