Applications linéaires

[hyu2]

Bonjour,
Voila j'ai un exo sur les applications linéaires et je n'y arrive pas du tout.
Voila l'énoncé

Dans cette partie, n désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à 2. On note E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n, et Bo la base (1,X,...X^n) de E.
Soit f l'application qui, à tout polynome P de E associe le polynome f(P) défini par f(P) = 3XP' + (X^2 - 1)P''

1. Vérifier que f est un endomorphisme (fait !!)
2a. Pour tout k tel que 0<_k<_n, déterminer f(X^k) (fait )
b. Determiner une base de l'image de f
c. Déterminer une base du noyau de f

Voila merci d'avance

[ericsteph]

salut, fastoche pour le noyau,
on cherche P tel que f(P)=0

donc 3XP' + (X^2 - 1)P''=0

(X^2 - 1)P''=-3XP'

P''/P'= -3X/(X²-1) on integre des deux memebres

t'aura log |P'|= une certaine fonctoin en X

integre encore une fois pour avoir, P, dsl j'ai pas le temps de faire les calculs, mais je epnse que c'est comme ca on procede, pour l'image je vais reflechir un peu!! :id:

[ericsteph]

bon, je ne suis pas dutout sur pour l'image, essaye P(X)= somme des ai X^i

developpe et essaye ce que ca donne

mais faut que a la fin, que dim E= dim (im f) + dim (ker f)!!!

[hyu2]

je ne comprends pas trop pour le noyau, n'y a t il une façon plus simple. Et comment je fais pour trouver une base ?

[ericsteph]

bonsoir, si tu es toujours bloqué, je ferais les calculs apres pour toi


pour le noyau le but est de trouver, P (puis ton espace, est l'espace des polynomes)

puisque tu as des derivées donc faut les eliminer

et il y a l'astuce d'integrer une forme de f'/f qui donne ln f!!!

a+

[ericsteph]

bonsoir, si tu es toujours bloqué, je ferais les calculs apres pour toi


pour le noyau le but est de trouver, P (puisque ton espace, est l'espace des polynomes)

puisque tu as des derivées donc faut les eliminer

et il y a l'astuce d'integrer une forme de f'/f qui donne ln f!!!

a+