Applications linéaires

[yonyon]

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice sur les applications linéaires:
Soit u un endomorphisme d’un Kev de dimension finie E et soit \lambda dans K.

1)a) Montrer que est valeur propre de u si et seulement si est non nul.
On pose
Cette question, c'est bon

b) Soient et deux valeurs propres distinctes de u. Montrer que
l’intersection entre et est nulle.
Pour cette question, c'est bon

2) Soit u l’endomorphisme de R^3 représenté, dans la base canonique par la matrice
A= (1,1,0;0,2,0;-1,1,2) (j'ai essayé avec LaTex mais je n'y arrive pas...)
a) Identifier u²-3u+2Id
Je ne suis pas très sure de moi, j'ai calculé A^3-3A+2I3 et je trouve 0, ça voudrait dire que l'application que je dois identifier est nulle?

b) Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de u. L’endomorphisme u est-il diagonalisable? Si oui, déterminer une base de vecteurs propres de u, la matrice de u dans cette base et A^k pour tout entier k.
J'ai trouvé 1 et 2 comme valeurs propres mais mon problème est que je n'ai que deux vecteurs propres indépendants de u: (1,0,1) et (0,0,1) donc je ne peux pas en faire une base de R^3...

3) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et soit u un endomorphisme de E tel que
u²-3u+2Id=0.
On pose v=u-Id et w=u-2Id
a) Identifier v-w. En déduire que E=Im v+Im w
Dès cette question, je suis bloquée, je ne vois pas trop comment m'y prendre...
b) Identifier v(w) et w(v). En déduire que : Im v et Im w sont inclus dans Ker v
c) Montrer que E=Ker v + Ker w avec une somme directe (je ne sais pas comment faire le « + entouré »…)
d) Prouver que u est diagonalisable

Merci d'avance pour votre aide

[yos]

2b) Calcule A-2I . Tu trouves une matrice de rang 1. Son noyau E2 est donc de dimension 2. Il est engendré par (0,0,1) (que tu as trouvé) et (1,1,0).
Tu as ta base.

3a) v-w=Id donc tout vecteur x s'écrit v(x)-w(x) ou encore v(x)+w(-x), donc il est dans Imv+Imw . L'inclusion inverse est triviale.

vow=wov=0, donc Imw inclus dans Kerv et Imv incus dans Kerw. Ton énoncé est sans doute incorrect.

Je te laisse essayer la suite. C'est toujours immédiat (argumentation d'une ligne).

[yonyon]

Merci beaucoup, j'ai pu finir.