Applications linéaires

[Crono]

bonsoir tout le monde
j'ai un petit problème au niveau des noyaux/images et j'arrive pas trop a aboutir...voila l'énoncé

f,g linéaires de E, E est un K-EV, on suppose f+g automorphisme de E et gof =0

Montrer que Im(f) C Ker(g), Im(f) + Im(g) = E, rg(f)+rg(g)=dimE, et Im(f) (+) Im(g) = Ker(f) (+) Ker(g) = E ( (+) pour la somme directe)

voila merci beaucoup d'avance :)

[abel]

- soit y dans Im f
il existe x tel que y=f(x) donc g(y)=g(f(x))=0 donc Im f C Ker g
- 1ere inclusion est triviale
soit y dans E, y est de la forme f(x) + g(x) car f+g est automorphisme donc bijectif donc y est dans Im(f+g) donc y est dans Im(f)+Im(g) donc E=Im f + Im g
- Im(f+g) est une base de E donc rg(f + g)= dim E
or rg(f+g)<= rg(f) + rg(g) donc rg(f) + rg(g) >= dim E
or Im (f) + Im(g) C E donc rg(f) + rg(g) <= dim E donc rg(f) + rg(g) =dim E

Dsl pr la derniere j'ai pas bcp de tps (DM de physique à finir). A+

[abel]

Voilà j'en ai fini avc mon DM ouff donc je disais :
- déjà il faut montrer que la somme est directe pr Im f + Im g
en fait il n'y a presque rien à faire car Im f + Im g génère E et que dim(Im f) + dim(Im g) = dim E donc La somme est bien directe.
- de meme avc les Ker :
rg(f)+rg(g)=dimE <=> dim E - dim(Ker f) + dim E - dim (Ker g) = dim E
donc dim(Ker f) + dim (Ker g) = dim(E)...
- De + cette somme est directe car si x est dans Ker f M Ker g (M pour intersection)
f(x)=0 et g(x)=0 donc f(x) + g(x) = 0 donc x est dans ker(f+g) sachant que f+g i est un automorphisme donc x=0 donc la somme est bien directe.
-> Du coup E=Ker f (+) Ker g = Im(f) (+) Im(g) donc voilà...

[Crono]

merci bocou abel, il y a juste une implication que je ne comprend pas :

Im(f) + Im(g) C E => rg(f) + rg(g)
?? on a (arretez moi si je me trompe) ,
Im(f) + Im(g) C E => dim (Im(f) + Im(g)) or dim(Im(f) + Im(g))a partir de la on peut pas savoir si rg(f)+rg(g)
merci d'avance :)

[abcd22]

Comme Im f est inclus dans Ker g en appliquant le théorème du rang on trouve rg f + rg g <= dim E.