Application d'une partie d'un ensemble sur le produit de deux parties

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: zenaf

Voila je vous explique mon probleme
Je dois démontrer une propriété pour une application et je ne sais pas comment m'y prendre. J'ai l'intuission de ce qu'il faut démontrer mais je ne sais pas comment ...
Voila le probleme

Soit E un ensemble fini et (A,B) C E et f une application
f: P(E) --> P(A)xP(B)
X --> (X inter A, X inter B)

Quelles sont les conditions nécessaires et SUFFISANTE pour lesquelles on a f injective ? f surjective ? f bijective ?

J'arrive a trouver des conditions nécessaires mais impossible de les prouver suffisantes. Mes hypothèses:

Surjective: A inter B = ensemble vide
Injective: A union B = E
Bijectives: A et B les 2 partitions de E

Avez vous des conseils pour prouver cela?


Posted by: yos

On voit facilement que f(A\cup B)=f(E) , donc si f injective, alors A\cup B=E.

Réciproquement, si A\cup B=E, et f(X)=f(Y),
alors X\cap A=Y\cap A et X\cap B=Y\cap B,
donc (X\cap A)\cup(X\cap B)=(Y\cap A)\cup (Y\cap B) ,
donc X\cap(A\cup B)=Y\cap(A\cup B),
donc X=Y.

La surjectivité est du même tonneau.










-