![\[<br />
M = P^{ - 1} \left( {\begin{array}{c}<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & { - 1} \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
\end{array}} \right)P<br />
\]](http://www.maths-forum.com/images/latex/3fefb7b68bb36ce84e7aaf98d87a4451.gif "\[<br />
M = P^{ - 1} \left( {\begin{array}{c}<br />
0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & { - 1} \\<br />
0 & 1 & 0 \\<br />
\end{array}} \right)P<br />
\]")
qui se factorise en 
et les deux facteurs sont premiers entre eux. Le th des noyaux dit que 
est somme directe des noyaux de M et 
(j'identifie la matrice M et l'endomorphisme m de qu'elle représente dans la base canonique). Le déterminant de M est un réel solution de 
, donc il vaut 0. Ainsi le noyau de M est de dimension au moins 1. Il ne peut pas être de dimension 3 (sinon la matrice serait nulle) ni de dimension 2 (sinon ... je vais y réfléchir).
est de dimension 2. On construit une base de dans laquelle M a pour matrice
non nul du noyau de M (le premier élément de la base), et un vecteur non nul 
de 
et on pose 
. On vérifie facilement que 
est libre (donc une base) et que la matrice de M dans cette base est celle voulue.
est stable par M et donc s'il était de dimension 1, ça ferait un espace propre de dimension 1, ce qui est impossible car 0 est la seule valeur propre de M (dans R) et les vecteurs propres associés à 0 sont dans 
et donc pas dans .
ce qui permet d'obtenir pour base de 
une base contituée de vecteurs propres de M dans Ker(M) juxtaposée à une base de vecteurs propres de M dans Ker(M²+1).
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