Application Polynomiale

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Posted by: Florix

Bonjour,

Voici deux questions que je n'arrive pas à résoudre.

On a f(x) = 1 + (1/2) integrale de 0 à x de f(t) + f(t^2) dt
On condidère les applications fn(x) avec f0=1 telles que
fn+1 = 1 + (1/2) integrale de 0 à x de fn(t) + fn(t^2) dt

1. Montrer que quelquesoit n appartient à N, fn est une application polynomiale

On démontre ensuite que
f1(x) = x + 1, f2(x)= 1 + x + (x^2/4) + (x^3/6), f3(x) = 1 + x + (x^2/4) + (x^3/24) + (x^4/48) + (x^5/40) + (x^7/84)

2. On pose Dn = sup | fn(x) - fn-1(x) | . Calculer D1 et D2

Merci d'avance pour vos réponses


Posted by: tize

je resume :
3$f(x)=1+\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\(f(t)+f(t^2)\)dt
3$f_0=1 et
3$f_{n+1}(x)=1+\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\(f_n(t)+f_n (t^2)\)dt
au rang 0 c'est donné... si 3$f_n est un polynome, montrons que 3$f_{n+1} est un polynome aussi... il se trouve que 3$f_{n+1} est dérivable de dérivée : 3$\frac{1}{2}\(f_n(x)+f_n(x^2)\) qui est (H.R.) un polynome... si 3$f'_{n+1} est un polynome alors 3$f_{n+1} aussi (évident).

Pour la 2) il doit y avoir une précision, par exemple le sup sur [0;1] sinon c'est toujours 3$\infty


Posted by: Florix

le sup appartient à l'intervalle I = [ - 1/2 ; 1/2]. Mais comment je fias pour le préciser et le calculer ?

Merci pour le début !


Posted by: tize

C'est plutot simple, calcule la différence entre f_0 et f_1, tu obtiens une fonction très simple à étudier, on trouve tout de suite son sup et donc D_1 pareil avec f_1 et f_2 pour D_2 ...


Posted by: Florix

Merci !!! En fait j'avais trouvé avant à force de me creuser la tête !

Mais merci quand même !










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