application injective

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: mt2sr

montrer que l'application est injectif

f:N^2 ----->N
(n,p)------->(n+p)(n+p+1)/2+p


Posted by: fahr451

bonjour

trois remarques
1)globalement tes posts ne sont pas dans la bonne rubrique
2) si tu connais la réponse le post est différent ;indique le

3) cette question même si pas du niveau d'olympiades est intéressante
puisque c'est la façon naturelle de compter par diagonale tous les couples d'entiers naturels

(0,0) est le 0ième (première diagonale)
(1,0) est le premier ; (0,1) le deuxième (deuxième)
(2,0) ; (1,1); (0,2) (troisième)

ne me demande pas plus c'est un résultat qu 'on voit en début d 'études supérieures de maths


Posted by: Quidam

J'ajouterai :

4 ) "Application" est un mot féminin. Donc une application est injective ou n'est pas injective ! En aucun cas elle ne peut être injectif !

5) Bonjour, merci, au revoir ! Les "répondeurs" bénévoles n'aiment pas qu'on se moque d'eux !


Posted by: mt2sr

* je connais pas la réponse
* j'ai posté ici pour demander de l'aide ou bien comparer ma solution avec les contre
*comment je peux evaluer le niveau
* ce qui concerne les erreurs du français d'abord c'est pas ma langue maternelle et j'ai étudié maths en arabe je fais un effort pour traduire l'énoncé


Posted by: Joker62

Heuresement que tu l'as traduit d'ailleurs
On serait mal barrés sinon lol


Posted by: mochkil

salut........


toute application de R^2 VERS R NE PAS etre injective grace au theoreme d'inversion local


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par mt2sr
montrer que l'application est injectif

f:N^2 ----->N
(n,p)------->3$ \frac{(n+p)(n+p+1)}{2}+p=p+\bigsum_{k=1}^{k=n+p}k



supposons que f((a,b))=f((x,y)) et a+b\neq x+y
(on peux supposer alors sans entrer dans les generalité que x+y>a+b)
et donc 3$ a+\bigsum_{k=1}^{k=a+b}k=x+\bigsum_{k=1}^{k=x+y}i
donc 3$^a-x=\bigsum_{k=a+b+1}^{i=x+y}k> a+b
donc 3$ -x>b+1 (impossible)
donc il faut que 3$ a+b=x+y=A.
et donc 3$ 2f(a,b)=A(A+1)+a=2f(x,y)=A(A+1)+2x
d'ou 3$ a=x et donc 3$ b=A-a=A-x=y
en fin 3$ (a,b)=(x,y).
d'ou le resultat.


Posted by: mt2sr

c'est une belle démontration
merci
est-ce que vous avez une une idée pour la bijection?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par mt2sr
c'est une belle démontration
merci
est-ce que vous avez une une idée pour la bijection?


soit 4$ a\in \mathbb{N}
si a=0, (0,0) est l'unique anticédant de a par f.
si a\neq 0.
on a 4$ \mathbb{N}^*=\cup_{M\in \mathbb{N}}[|\frac{M(M+1)}{2};\frac{M(M+1)}{2}+M|[ (une subdivision de \mathbb{N} en intervalles disjointes)
donc 4$ \exist M\ unique tel que 4$ \frac{M(M+1)}{2}\le a<\frac{M(M+1)}{2}+M
d'ou 4$ \exist k\ unique\ \in [|0,M|] tel que a=\frac{M(M+1)}{2}+k
et on a alors 4$ a=\frac{((M-k)+k)((M-k)+k+1)}{2}+k=f(M-k,k)
ce qui prouve l'injection et la bijiction en meme temps dans moins de ligns que la 1er solution qui prouve seulement l'injection


Posted by: mt2sr

la subdivision de N est une idée géniale
merci










-