application de cesaro

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Posted by: magnum

bonjour,

soit u_n une suite réelle tel qu'il existe deux réels a et b tq u_(2n) tende vers a et u_(2n+1) tende vers b .
démontrer que m_n=\frac{U_n}{n}=\frac{u_1+u_2+...+u_n}{n}

tend vers (a+b)/2

Merci .


Posted by: abcd22

Bonjour,
Et ça ne te donne pas envie de séparer la somme en deux cette question ?


Posted by: magnum

oui, à quelle rang ? Je pense à [n/2] ?


Posted by: abcd22

On a une propriété pour la sous-suite de (u_n) des indices impairs et une pour les indices pairs donc on sépare suivant les indices pairs et impairs.


Posted by: magnum

ok donc ca donne :


mn = 1/2 (((u1+u3+...+u2k+1)/(n/2))+((u2+u4+...+u2k)/(n/2)))

comment peut-on dire que le membre de droite tend vers a ?


Posted by: magnum

ok merci mais je ne vois pas encore comment utiliser césaro !


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par magnum
ok merci mais je ne vois pas encore comment utiliser césaro !


m_{2k+1}=\(\frac{k}{2k+1}\)\frac{\bigsum_{i=1}^{k} u_{2i}}{k}+\(\frac{k+1}{2k+1}\)\frac{\bigsum_{i=0} ^{k}u_{2i+1}}{k+1}

césaro dit que \frac{\bigsum_{i=1}^{k}u_{2i}}{k} et U_{2k} on la meme limite a
et \frac{\bigsum_{i=0}^{k}u_{2i+1}}{k+1} et U_{2k+1} on la meme limite b
donc \lim_{k\to +\infty} m_{2k+1}=a\(\lim_{k\to +\infty}\frac{k}{2k+1}\)+b\(\lim_{k\to +\infty}\frac{k+1}{2k+1}\)=\frac{a+b}{2}
de meme on trouve \lim_{k\to +\infty} m_{2k}=\frac{a+b}{2}

et plus generalement pour h\in\mathbb{N}^*
si \forall i\in\{0,1,2,..,h-1\}:\ \lim_{n\to +\infty}U_{nh+i}=a_i
alors \lim_{n\to +\infty}\frac{\bigsum_{j=1}^{n}U_n}{n}=\frac{ \bigsum_{i=1}^{h-1}a_i }{h}
en particulier pour h=2,a_0=a,a_1=b


Posted by: magnum

en fait je ne comprends pas votre première remarque ''cesaro dit que '' ce n'est pourtant pas césaro sinon il y aurait un 2k au dénominateur ?! non ?










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