Anneau, Endomorphisme, homomorphisme, je m'en sors plus !

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: Mythus

Bonjour !
J'ai a peu près réussit la première questions, mais après...

Voici mon exo :

Soit (A,+,.) un anneau (avec unité).
Soit a€A (fixé)
1)Montrer que l'application fa : x |----> a.x de (A,+) dans (A,+) est un endomorphisme de groupes.

2)On note (End(A),+,°) l'anneau des endomorphismes de (A,+) muni de l'opération de composition ° (rho).
Montrer que l'application # : a |----> fa de (A,+,°) dans (A,+,.) est un homomorphisme d'anneaux qui est injectif.

3)Supposons A=Z (Z l'ensemble des entiers relatifs)
Montrer que # est un isomorphisme d'anneaux et déterminer le groupe des éléments inversibles de (End(Z),+,°).


Voila !!!!
Si un illustre mathématicien passais par là, merci à lui !!!


Posted by: Galt

L'énoncé du 2 est faux : a\longrightarrow f_a est forcément un morphisme de A vers End(A)
Il faut prouver que f_{ab}=f_a \circ f_b , ce qui ne semble pas monstrueux : f_{ab}(x)=(ab)x=a(bx)=af_b(x)=f_a(f_b(x))
Est-il injectif ?
Si f_a=0 , alors pour tout x, f_a(x)=0 soit ax=0 . Or il y a une unité, donc ...
Le 3 est aussi assez simple (on connait les endomorphismes de Z)


Posted by: Mythus

Effectivement, voici l'énoncé de 2 (corrigé!):

2)On note (End(A),+,°) l'anneau des endomorphismes de (A,+) muni de l'opération de composition °.

Montrer que l'application # :a\longrightarrow f_a de (A,+,.) dans End(A,+,°) est un homomorphisme d'anneaux qui est injectif.



(Et en fait, je suis pas du tout sur de moi pour la 1ère question.... If you can help me..)


Posted by: Mythus

Citation:
Posté par Galt
Le 3 est aussi assez simple (on connait les endomorphismes de Z)


Je n'ai pas la chance de le trouver "assez simple" pour le moment !!!


Posted by: Galt

Pour le 3°
D'après les résultats précédents, on a a\longrightarrow f_a est un endomorphisme de Z vers €nd(Z ).
Il est injectif. Pour montrer qu'il est isomorphisme d'anneaux, il faut considérer un endomorphisme de Z et prouver qu'il est de la forme f_a pour un certain entier a .
Soit donc f un endomorphisme de Z , et posons a=f(1) (c'est la seule possibilité logique, puisque on veut prouver que pour tout x, f(x)=ax ).
Comme f est un endomorphisme du groupe (Z ,+), je peux écrire que f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=a+a=2a et continuer par récurrence
De même pour f(-1)=-f(1)=-a = -1\times a et pour les entiers négatifs.
J'ai bien prouvé que f était de la forme f_a


Posted by: Mythus

Okay pour le 3 !! (Merci Galt).

Par contre, pour le 2, je crois que ce que tu as fait n'est pas juste (a cause de l'énoncé, initialement faux!).

Voici la version modifiée :

2)On note (End(A),+,°) l'anneau des endomorphismes de (A,+) muni de l'opération de composition °.

Montrer que l'application # :a\longrightarrow f_a de (A,+,.) dans (End(A),+,°) est un homomorphisme d'anneaux qui est injectif.

Voila, normalement, là, il est bien écrit... Si vous voyez....


Posted by: Mythus

Oki !
J'ai trouvé pour la 2!
Merci encore !
A bientot !










-