Pb analyse, séries numériques

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Posted by: liljuan

bonjour a tous, je suis en école d'ingénieur et j'ai un problème sur un DM d'analyse. J'aimerais un peu d'aide car on m'a dit que ce site était rapide. Je vous expose le sujet:
Soit E l'ensemble des fonctions continues de [1,+inf] dans R. On s'interresse a l'application PHI : E -> R
f -> lim intégrale de 1 à n de f(t) dt
1) donner un exemple d'élément f de E pour lequel PHI(f) est défini
2) donner un exemple d'élément f de E pour lequel PHI(f) n'est pas défini
3) soit f appartenant à E décroissante et positive. Soit (Un) définie par
Un=f(Un) pour tout n entier naturel non nul. Montrer que si
"SOMME de n=1 jusqu'a +inf de f(n)" converge alors f est dans le domaine de définition de PHI.

Merci et dsl pour l'écriture, je ne sais pas écrire les symboles mathématiques
PS: SOMME=SIGMA


Posted by: nuage

Salut,
pour le 1 : f(t)= 1/t² convient
pour le 2 : f(t)=1/t convient
pour le 3 on peut donner un encadrement de \int_1^x {f(t) \text{d}t} par des \sum{f(n)}, compte tenu des hypothèses sur f.
Je pense que tu as écris par erreur u_n=f(u_n) à la place de u_n = f(n)

A+


Posted by: liljuan

Merci pour tes réponses. Effectivement c'était bien Un=f(n). Mais est-ce que tu pourrais m'expliquer vite fais pour quoi f(t)=1/t convient pour la question 2. merci


Posted by: nuage

Salut,
\large\int_1^x {\frac{\text{d}t}{t}}= \ln x \text{ et } \lim_{x\rightarrow +\infty}{\,\ln x} = +\infty


Posted by: liljuan

ok mais la limite de l'intégrale c'est +inf et +inf appartient a R ? c'est ça que je comprend pas


Posted by: nuage

Citation:
Posté par liljuan
ok mais la limite de l'intégrale c'est +inf et +inf appartient a R ? c'est ça que je comprend pas

Un résultat important :
\Large +\infty \not\in \mathbb{R}


Posted by: liljuan

merci pour tes réponses.


Posted by: sandrine_guillerme

Citation:
Posté par nuage
Un résultat important :
\Large +\infty \not\in \mathbb{R}


salut,
+l'infini, il appratient à R barre ?


Posted by: nuage

Citation:
Posté par sandrine_guillerme
salut,
+l'infini, il appratient à R barre ?

Oui (enfin \overline{\mathbb{R}} est une notation courante pour le compacifié affine de {\mathbb{R}} )


Posted by: sandrine_guillerme

Merci


Posted by: liljuan

est-ce que tu pense que si on prend pour la question 3 : f(x)=1/x^2 et que on la borne par deux SOMMES ? Un peu comme la démonstration des series de Riemann .....


Posted by: nuage

C'est bien l'idée, mais il faut le faire en général.
Il suffit même de, compte tenu des hypothèses de majorer l'intégrale (elle est minoré par 0).
On peut par exemple poser F(x) = \int_1^x {f(t) \text{d}t}
F est croissante et
\displaystyle F(n)=\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1} {f(t) \text{d}t}\leq \sum_{k=1}^{n-1} u_k

A+


Posted by: liljuan

encore une question dsl:
est-ce que si on prend les séries de riemann en prenant f(x)=1/x^s avec s>1 on peut conclure pr la question 3?


Posted by: liljuan

alors stp?


Posted by: nuage

Si on sait que la série de terme général \frac{1}{n^s} est convergente si s>1 on peut conclure que l'intégrale \int_0^{+\infty} {\frac{\text{d}t}{t^s}} est congergente pour s>1.
Mais je ne voit pas bien l'intéret (la convergence de l'intégrale me semble facile à montrer directement).

A+


Posted by: liljuan

jvois ce que tu veut dire. Donc si on prend que se que tu as marqué, la réponse serait justifiée?


Posted by: nuage

Désolé de répondre aussi tard.
Pour la question 3 il faut raisonner en général (on ne sait pas à priori quelle est la forme de f).
Et donc on utilise ce que j'ai écris plus haut.

A+


Posted by: liljuan

ok d'accord merci mais en fait sa me parraissait bizarre que la réponse soit aussi courte c'est pour sa.


Posted by: liljuan

dsl d'etre soulant mais dis moi cash si j'peux écrire que s'que ta mis? c'est important merci
Aussi on di que f est décroissante dans l'énoncé et toi tu as mis que F est croissante??? jcomprend pas...


PS: t'es étudiants ou + ?










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