Analyse difficile

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Posted by: Sylar

Bonsoir,j'essaie de résoudre cet exo mais a vrai dire j'ai pas vraiment d'idées:

Soit f une fonction non identiquement nulle définie de C dans C, DSE en tout point. On définit A comme l'ensemble des points où s'annule f.

On demande quelle est la nature de A.
DSE=développable en série entière.
Merci...


Posted by: yos

Citation:
Posté par Sylar
On demande quelle est la nature de A.

La nature d'un ensemble? Déjà ça veut rien dire.
Il peut être fini ou infini dénombrable.
Si on parle topologie, il est discret.
Tout ça venant du fait que les zéros d'une fonction analytique (non nulle) sont isolés.


Posted by: Sylar

La nature d'un ensemble? Déjà ça veut rien dire.

C'est exactement l'énoncé d'un oral;j'ai vérifié...
Sinon moi je comprends pas la question.


Posted by: yos

Ben faut sûrement que tu prouves que A est discret (c'est-à-dire que A\cap B(x,r) est fini). C'est une banalité d'analyse complexe. Maintenant s'il faut le faire avec des outils primitifs de prépa, dis-le, j'essaierai d'y penser.


Posted by: quinto

Tu peux définir le degré d'un zéro w de f DSE comme étant le nombre n tel que
f^(k)(w)=0 pour tout k<n et tel que f^(n)(w) soit non nul.

A ce moment là c'est très facile de montrer que
f(z)=(z-w)^n g(z)
où g(w) est non nul et DSE.

Avec ça, tu peux montrer que tes zéros sont isolés.

a+


Posted by: Sylar

Oui exact yos je suis contraint a le faire avec mes outils primitifs de prépas...
Au passage ,c'est quoi des zéros isolés?
Et j'ai pas très bien compris d'ou vient la formule ....


Posted by: SimonB

Un zéro isolé, c'est un zéro tel qu'il existe une distance minimale entre ce zéro et tout autre zéro de la fonction.


Posted by: Sylar

Ok merci,on a pas vu ca en prépa.


Posted by: kazeriahm

Citation:
Posté par SimonB
Un zéro isolé, c'est un zéro tel qu'il existe une distance minimale entre ce zéro et tout autre zéro de la fonction.


une distance minimale non nulle...


Posted by: Sylar

c'est censé m'aider ?


Posted by: kazeriahm

bah comprendre ce que tu dois montrer oui ca doit pouvoir t'aider...

fais ce que quinto t'as dit


Posted by: Sylar

ok ,mais je comprends pas d'ou vient cette formule:

A ce moment là c'est très facile de montrer que
f(z)=(z-w)^n g(z)
où g(w) est non nul et DSE.


Posted by: kazeriahm

ca te fait pas penser aux fonctions polynomiales ?

pour un polynome P si w est racine de multiplicité n, alors P(x)=(x-w)^n*Q(x) ?


Posted by: Sylar

Ah oui exact.


Posted by: kazeriahm

enfin il faut encore le démontrer pour les SE


Posted by: Sylar

Par contre ,pour les zéros isolés ,j'ai du mal...


Posted by: kazeriahm

bah si tu as cette formule (qu'il faut démontrer j'insiste), on a Q(w) différent de 0 donc par continuité de Q, il existe un voisinage V de w sur lequel Q ne s'annule pas.

Donc pour tout x dans V, x différent de w, Q(x) est non nul et (x-w) est non nul, donc....


Posted by: Sylar

Ok merci.....


Posted by: SimonB

Citation:
Posté par kazeriahm
une distance minimale non nulle...


Oops, effectivement.










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