Analyse : Convergence de suites de fonctions, intégrales..

[d0n]

Bonsoir !
Dans un exercice que j'ai à faire,on me demande de montrer que lim (n -> +oo) int(fn(t) dt) = L(x) où :
- fn(t) = (1 - t/n)^n * t^(x-1) si 0n
- L(x) = int( exp(-t)*t^(x-1) dt)
- Les intégrales vont toutes de 0 à +oo
J'ai posé f = exp(-t)*t^(x-1) (l'intérieur de l'intégrale de l'expression de L(x)), et j'ai voulu utiliser le théorème de convergence dominée (théorème de Lebesgue) : les fn sont continues ( c'est OK), fn converge simplement vers f où f continue, puis on trouve une fonction g intégrable continue par morceau tq |fn(x)|Pour la convergence simple, j'ai montré que fn -> f simplement pour 0Cependant je n'arrive pas à montrer que fn -> f pout t>n : quand je fais |fn - f|, je n'ai plus de 'n' vu que fn=0. Je n'arrive pas à conclure pour ce cas là.
Si vous aviez une idée svp.. Merci ! :happy2:

[Lierre Aeripz]

Pose-toi des questions sur le sens de cette phrase : j'ai montré que fn -> f simplement pour 0<t<=n. n est-il fixé, où tend-il vers l'infini ?

[d0n]

J'ai pensé à ça oui... n tend vers l'infini, donc on aurait tendance à dire que c'est tout le temps vrai (t "forcément" plus petit que n). Mais t ne peut-il pas aussi être aussi grand que l'on veut ?

[Lierre Aeripz]

Oui, mais quand on regarde la convergence simple, on est à t fixé, non ?

[d0n]

... Tilt ... :mur:
Merci !

[d0n]

Un peu plus loin, on introduit la fonction In(x) = int( (1-t)^n * t^(x-1) dt), l'intégrale allant de 0 jusqu'à 1. On me demande de montrer de montrer que pour tout n>=1, int(0,+oo) (fn(t) dt) = n^x * In(x)
Je rappelle que fn(t) = (1 - t/n)^n * t^(x-1) si 0n
J'ai voulu faire par récurrence : Pour n=1 c'est ok mais au rang n+1, j'ai tenté les 2 IPP possibles sur In, et les résultats ne sont pas très probants.. J'ai aussi essayé d'identifier les deux membres des intégrales, mais les bornes des intégrales n'étant pas les mêmes, ca a l'air un peu foireux.. A part une IPP sur fn(t), je ne vois pas trop quoi faire... :hum:

[d0n]

J'ai essayé l'IPP en question, toujours pas de résultat.. :triste: