Analyse Complexe

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Posted by: Elvis

Bonjour à tous,

J'ai quelques petits soucis concernant un exercice d'analyse complexe, et un petit coup de mains serait bienvenu ...
Je vous expose mon problème :

Je dois définir les fonctions analytiques f définies sur D(1,1) telles que pour tout entier n >1 on a

f((n+1)/n) = somme (sur k >0) de ((-1)^k )/ (kn^k)

(désolé pour l'écriture)

En bidouillant l'écriture, je trouve que g((n+1)/n) = 0
avec g(z) = f(z) - somme de ((1-z)^k)/k

Je voudrais pouvoir utiliser le principe des zéros isolés puisque l'ensemble des zéros possède un point d'accumulation dans D(1,1) qui est un ouvert connexe, mais il me reste à montrer que la fonction g est analytique, et c'est là où est le problème ... Est-ce que cela suffit de dire que ce qui est dans la somme correspond à un polynôme, c'est donc analytique, et la somme de fonctions analytiques est analytique ???

Petite question supplémentaire (et idiote je crois mais tant pis :)) :
quand une fonction est continue sur un ensemble de définition contenant 0, est-ce qu'on a obligatoirement f(0) = 0 ??

Merci d'avance.


Posted by: remullen2000

J'ai pas trop saisi l'enoncé de ton problème mais en tout cas il me semble que
f(z)=z+1 ne s annule pas en 0....


Posted by: Elvis

En fait, il faut trouver une fonction analytique f qui vérifie la relation donnée. Mais c'est peut être la manière dont j'ai écrit la relation qui n'est pas très claire ?


Posted by: remullen2000

f(1)=0 par contre


Posted by: kazeriahm

Salut,

pour la question initiale, exprime ta somme de manière simple en fonction de somme (dérivée d'une série géomètrique a peu de choses près) puis utilise le fait que si f et g sont analytiques sur un ouvert O et coincident sur un ensemble A C O possèdant un point d'accumulation, alors f et g sont égales sur O

(théorème connu sous le nom de principe du prolongement analytique)


Posted by: yos

Citation:
Posté par Elvis
Est-ce que cela suffit de dire que ce qui est dans la somme correspond à un polynôme, c'est donc analytique, et la somme de fonctions analytiques est analytique ???

Le problème c'est que ton g dépend de n.

Citation:
Posté par Elvis
quand une fonction est continue sur un ensemble de définition contenant 0, est-ce qu'on a obligatoirement f(0) = 0 ??

Ben non.


Posted by: nuage

Salut,
une indication :
\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty {\frac{(-1)^{k-1} x^k}{k}} pour |x|<1
Et c'est une fonction analytique sur un domaine convenable...


Posted by: Youcef

Citation:
Posté par Elvis


Petite question supplémentaire (et idiote je crois mais tant pis :)) :
quand une fonction est continue sur un ensemble de définition contenant 0, est-ce qu'on a obligatoirement f(0) = 0 ??

Merci d'avance.


C'est vrai dans le cas des application linéaire c'est tout.


Posted by: Elvis

Citation:
Posté par nuage
Salut,
une indication :
\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty {\frac{(-1)^{k-1} x^k}{k}} pour |x|<1
Et c'est une fonction analytique sur un domaine convenable...



J'avais pensé à cette solution, mais la fonction ln n'est-elle pas définie sur l'ensemble des réels, alors qu'ici, z peut être complexe ??


Posted by: alavacommejetepousse

Citation:
Posté par Elvis
J'avais pensé à cette solution, mais la fonction ln n'est-elle pas définie sur l'ensemble des réels, alors qu'ici, z peut être complexe ??


sans doute (quoique) mais la série, elle, existe sur un disque de convergence complexe.


Posted by: Elvis

Mais ça ne pose donc aucun problème si j'écris ln (1+z) avec z complexe ?


Posted by: alavacommejetepousse

Citation:
Posté par Elvis
Mais ça ne pose donc aucun problème si j'écris ln (1+z) avec z complexe ?


sans doute alors appelle la somme de la série f (z) et il n'y a plus de problème


Posted by: Elvis

Mais le problème dans cette exercice est de démontrer que la fonction g est analytique (voir la déf en haut pour g). Et il y a une somme qui, après un changement de variable et si on suppose qu'on peut l'écrire avec ln, ressemble à ln(1+z).
Alors je ne sais pas du coup si je suis sur la bonne voie ??


Posted by: alavacommejetepousse

en regardant ton post initial

si j'ai bien compris

f est analyique par hypothèse

reste à prouver que la série l'est pour en déduire que g l'est

il suffit d'utiliser la composition


Posted by: Elvis

Je vois trop comment utiliser la composition ...
Pour moi, ce serait plus le fait que l'addition de fonctions analytiques donne une fonction analytique (et dire que ce qui es dans la somme correspond à des polynômes, qui sont donc analytiques).
Mais mon raisonnement me paraît un peu approximatif ... Qu'en dites-vous ?
Et merci de mobiliser de l'énergie à une heure si tardive !










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