Analyse complexe

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Posted by: mehdi-128

Bonsoir,voila je bloque sur cet exo:

Soit Uc C un ouvert convexe donc connexe .On rappelle que:f:U->C est harmonique si :

\phi(x,y)=f(x+iy) est de classe C2 et \Delta(phi)=0

On rappelle que F:U->R est harmonique si et seulement si elle est partie réelle d'une fonction holomorpheF.

1/Soit: f:U->C une fonction holomorphe sur U.Montrer que f=Re(F) vérifie la propriété de la moyenne sur U.

2/En déduire que toute fonction harmonique sur U a valeur dans C vérifie la propriété de la moyenne sur U.

3/Montrer que toute fonction harmonique f:U->R vérifie le principe du minimum:si f admet un minimum local en a de U alors f est constante sur un voisinage de a .


merci d'avance ....


Posted by: kazeriahm

Salut

il suffit d'écrire la propriété de la moyenne pour f et de passer l'égalité obtenue à la partie réelle

la 2 s'ensuit


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par kazeriahm
Salut

il suffit d'écrire la propriété de la moyenne pour f et de passer l'égalité obtenue à la partie réelle

la 2 s'ensuit


désolé je vois pas du tout,en plus je connait pas la propriété de la moyenne ....


Posted by: mehdi-128

Quelqu'un pourrait-il me donner la propriété de la moyenne ?


Posted by: kazeriahm

salut

propriété de la moyenne:

f est holomorphe sur un ouvert U (du plan complexe)

pour tout x dans U il existe r>0 tel que la boule fermée de centre x et de rayon r soit incluse dans U

la propriété de la moyenne dit qu'alors

\displaystyle{f(x)~=~\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2\pi} ~f(x+r~e^{i \theta}) ~d\theta}

en gros la valeur en un point ne dépend que de la valeur autour de ce point

note que le résultat est indépendant du r choisi


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par kazeriahm
salut

propriété de la moyenne:

f est holomorphe sur un ouvert U (du plan complexe)

pour tout x dans U il existe r>0 tel que la boule fermée de centre x et de rayon r soit incluse dans U

la propriété de la moyenne dit qu'alors

\displaystyle{f(x)~=~\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2\pi} ~f(x+r~e^{i \theta}) ~d\theta}

en gros la valeur en un point ne dépend que de la valeur autour de ce point

note que le résultat est indépendant du r choisi


Ok donc ici j'ai:

\displaystyle{F(x)~=~\frac{1}{2 \pi}\int_0^{2\pi} ~F(x+r~e^{i \theta}) ~d\theta}

ET comment montrer que Re(F) vérifie cette propriété ?


Posted by: kazeriahm

en écrivant que F(x) = Re(F(x))+i*Im(F(x)) et en identifiant


Posted by: mehdi-128

Citation:
Posté par kazeriahm
en écrivant que F(x) = Re(F(x))+i*Im(F(x)) et en identifiant


Ah Ok merci .....










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