analyse complexe 2

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Posted by: nemesis

bonsoir
encore un peu de nombre comlexes :
1) je dois ,en etudiant les racines de l'equation Z^m - 1 =0 m=2,3,...,montrer que \sin \frac \pi m .\sin \frac {2\pi}{m} \sin \frac {3\pi}{m} .......\sin \frac {(m-1) \pi}{m} = \frac {m}{2^{m-1}}

2)montrer que u= \e^{-x} (x \sin y - y \cos y) est harmonique et determiner v tel que f(z)u + iv soit analytique

merci d'avance


Posted by: Nightmare

As-tu étudié les racines néme de l'unité?


Posted by: nemesis

oui je trouve que les racine sont donné par \e^2i \frac {k \pi}{m}


Posted by: Nightmare

Oui.

Ne vois-tu pas un rapport entre ces racines et le produit qu'il t'est demandé de calculer?


Posted by: nemesis

je sais que z^m - 1 =(z-1)(z - \e^2i \frac {\pi}{m})(z - \e^4i \frac {\pi}{m}) \text {........}(z - \e^2(m-1)i \frac {\pi}{m}) et aprés ?


Posted by: Joker62

Produit de k=1 à m-1 des parties imaginaires de exp(i.k.pi/n)

Après ça se simplifie.


Posted by: nemesis

c'est bon pour la premiere
et pour la deux ,une idée ?


Posted by: yos

Bonjour.
Il me semble que la deuxième question c'est du cours. Cela dit, on connait pas f(z) donc on peut pas t'aider.
tu as su faire la première, avec (ou malgré) les indications?


Posted by: Franck75019

Essayes de calculer le Laplacien de u. S'il est égal à 0 u est harmonique.
ensuite tu dois utiliser les conditions de Cauchy, c'est dans ton cours normalement.


Posted by: tize

Citation:
Posté par yos
...tu as su faire la première, avec (ou malgré) les indications?

Pour ma part je ne sais malheureusement pas résoudre ce problème 1) avec les indications proposées mais je suis preneur.
Sinon voici ce que je propose:
On pose 3$z_k=2i\sin\(\frac{k\pi}{m}\)e^{i\frac{k\pi}{m}}, on a alors :
3$\prod\limits_{k=1}^{m-1}z_k=\prod\limits_{k=1}^{m-1}\(e^{i\frac{k\pi}{m}}-e^{-i\frac{k\pi}{m}}\)e^{i\frac{k\pi}{m}}=\prod\limits _{k=1}^{m-1}\(e^{i\frac{k2\pi}{m}}-1\)
Il est assez facile de voir que ce produit correspond au produit des racines du polynôme : 3$\frac{\(z+1\)^m-1}{z} et les relations coefficients racines nous donnent alors : 3$\prod\limits_{k=1}^{m-1}z_k=\(-1\)^{m-1}m, puis en remplçant les z_k par 2i\sin\(\frac{k\pi}{m}\)e^{i\frac{k\pi}{m}} on trouve facilement l'égalité demandée à savoir : 3$\prod\limits_{k=1}^{m-1}\sin\(\frac{k\pi}{m}\)=\frac{m}{2^{m-1}}


Posted by: yos

Salut Tize.
Tu confirmes mon jugement. Cela dit peut-être qu'on a raté quelquechose. Si on pouvait nous éclairer...

Pour ma part, j'ai fait la dérivée de X^m-1 au point 1 et le résultat en découle avec le même calcul que tu as fait au départ.










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