Algebre

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Posted by: jojofroi

Bonjour,
je viens de finir un exercice et j'aimerais savoir si quelqu'un pourrait vérifier mes résultats.Merci d'avance pour vos réponses.

Voila l'enoncé:
soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K et f et g deux endomorphismes de E.On suppose que f o g o f = f et g o f o g =g.
1-Monter que E = ker(g) oplus Im(f)
2-Monter l'égalité des rang suivantes :
rg(f)=rg(g)=rg(f o g)=rg(g o f)

1-f et g deux endomorphisme de E donc f o g et g o f sont aussi deux endomorphisme de E.
on suppose que f o g o f = f je peux écrire f[f o g] = f alors f o g = Id et aussi que g est la bijection réciproque de f. Pour g o f o g =g, même raisonnement, je trouve que f est la bijection réciproque de g.
f et g sont donc des automorphismes de E.
Comme g est bijectif, mais aussi injective alors ker(g)={0E} et de meme pour ker(f)={0E}.
comme f est bijectif, mais aussi surjectif alors Im(f) = E.
je peux écrire x de E, x = xk + xi avec xk appartient à ker(f) et xi appartient à Im(f) donc ker(f) et Im(f) sont en somme directe avec E et de plus ker(f) inter Im(f) alors E = ker(f) oplus Im(f). de plus ker(f) = ker(g), alors
E = ker(g) oplus Im(f).

2- J'ai utilisé le th du rang

je trouve rg(f) = dim(E) - dim(kerf) = dim(E) car dim(kerf) = 0
Idem pour rg(g) = dim(E)
comme ker(f) = ker(g)={0E} alors ker(f o g) = ker(g o f) = {0E}
donc rg(f o g) = dim(E) = rg(g o f)
alors j'ai rg(f) = rg(g) = rg(f o g) = rg(g o f) = dim(E)


Posted by: atito

1) g n'est pas l'inverse de f. pas de commutativité a priori...
g en fait est une sorte d'inverse mais pas la bijection réciproque.


Posted by: jojofroi

merci pour ta réponse.


Posted by: atito

je t'en prie. Si tu n'arrives pas à démontrer la première question dis nous où tu bloques.


Posted by: yos

Regarde ker g\cap Im f et utilise la symétrie en f,g.


Posted by: jojofroi

je viens de regarder ker(g) inter Im(f) = {0E} .
si je comprend bien, les fonctions f et g sont symétrique car f o g = Id.
mais je ne vois pas comment utiliser la symétrie en f,g.


Posted by: yos

Citation:
Posté par jojofroi
je viens de regarder ker(g) inter Im(f) = {0E} .

OK

Citation:
Posté par jojofroi
si je comprend bien, les fonctions f et g sont symétrique car f o g = Id.

Je n'ai pas dit que f et g sont symétriques.
Je ne vois pas de raison pour que f\circ g=Id. L'égalité fogof=f montre seulement que que la restriction de fog à Im f est Id.


Citation:
Posté par jojofroi
je ne vois pas comment utiliser la symétrie en f,g.

Ce que j'ai appelé symétrie en f,g, c'est le fait que tu peux échanger les rôles de f et de g dans tout l'exercice sans modifier l'exercice. En particulier tu as ker(f) inter Im(g) = {0E} .
Regarde ensuite les dimensions.


Posted by: jojofroi

Merci pour tes explications, je viens de comprendre










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