Algèbre : preuve sur les cardinaux.

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Posted by: Zebulon

Bonjour,
voici l'énoncé de ce qui me pose problème :

Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe fini G, avec K inclus dans le normalisateur de H.
Montrer que \Large{c}ard(HK)={card(H).card(K)\over{card({H\cap {K})}}.

J'ai cherché à montrer que \Large\phi définie comme suit est une bijection :
\Large\phi : \Large(HK)X(H\cap{K})\rightarrow{HXK}<br /> \\(hk,x)\mapsto(hx,kx)
C'est clairement surjectif, mais pour l'injectivité je n'ai aucune idée...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance!


Posted by: alben

Bonjour,

Es-tu sûr que ta fonction soit bien définie ?
Si z € HK, il existe h,k tels que hk=z mais aussi h'k'. Il faudrait montrer que h'x=hx


Posted by: Zebulon

J'avoue que je suis complètement perdue sur cet exercice. Je n'ai pas l'impression qu'introduire cette application soit une bonne idée.
Avez-vous d'autres idées?


Posted by: yos

Je pense aussi que ta fonction est mal définie. car un élément de HK s'écrit de diverses façons sous la forme hk. C'est même le noeud du problème car si cette écriture était unique, on aurait HXK isomorphe à HK.
Je pense que l'inclusion de K dans N_G(H) entraîne que HK est un sous groupe de G et on doit pouvoir l'exploiter.


Posted by: Zebulon

En effet, HK est stable par la loi :
si z et z' appartiennent à HK, alors il existe h, h' appartenant à H et k, k' appartenant à K tels que z=hk et z'=h'k' donc zz'=hkh'k'=hh''kk' car kH=Hk donc zz' appartient bien à HK.
Pour l'élément neutre, comme H et K sont des sous-groupes de G, e appartient à H et à K donc e=ee appartient à HK.
Pour l'inverse, soit z appartenant à HK, alors il existe h et k appartenant à H et K tels que z=hk et on sait qu'il existe h^{-1} dans H et k^{-1} dans K et hkk^{-1}h^{-1}=e et il existe un h' tel que k^{-1}h^{-1}=h'k^{-1} donc k^{-1}h^{-1} appartient à HK.


Posted by: yos

Tu dois pouvoir montrer KH/H\sim K/H\cap K


Posted by: Amine.MASS

bonsoir,

soit \Large\phi : \Large(H)X(K)\rightarrow{HK}<br /> \\(h,k)\mapsto hk
pour z=hk \in HK ,on montre que l'ensemble des antécédants de z par \Large\phi : est A={(ht,t^{-1}k) avec t \in H\cap K}
puis on utilise le principe des bergers pour conclure que \Large{c}ard(HK)={card(H).card(K)\over{card({H\cap {K})}}


on pose B l'ensemble des antecédants de z,
*il est simple de vérifier que A est dans B
*soit (x,y)\in B:
donc xy=hk d'ou h^{-1}x=ky^{-1}=(yk^{-1})^{-1}
on pose t=h^{-1}x on a t\in H\cap K
et on a (x,y)=(ht,t^{-1}k)
donc (x,y)\in A
dou...
allez bon courage
Amine


Posted by: Zebulon

Merci Amine, mais pouvez-vous m'énoncer le principe des bergers s'il vous plait? Je ne connais pas.
Merci d'avance.


Posted by: Amine.MASS

Citation:
Posté par Zebulon
Merci Amine, mais pouvez-vous m'énoncer le principe des bergers s'il vous plait? Je ne connais pas.
Merci d'avance.

bonjour,
je croyais qu'on l'enseignait désolé:
soit f une application entre deux ensembles fini H et F,
si il existe r\in IN tq qlq soit y\in F
Card(f^{-1}(y))=r ,alors Card(H)=r.Card(F)

Cordialement,Amine










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