Mathématiques - Algèbre linéaire !

Algèbre linéaire !
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Posted by: barbu23

Bonjour à tous :
J'ai un petit exo d'algèbre linéaire écrit en espagnol que j'ai du mal à comprendre , est ce que vous pouvez me donner quelques pistes pour le resoudre ... ?!
Le voiçi cet exo :
Dado el sistema homogénio : $\ \{{x+k.y-z=0 \\ kx-y+z =0 \\(k+1)x+y=0}$
Averiguar para qué valores de $\ k$ tiene solutiones distintas de $\ x=y=z=0$ . Resolverlo en tales casos.
Merci d'avance !!

Posted by: barbu23

Pour la première partie de la question, il faut verifier pour quelles valeurs de $\ k$ , l'implication suivante est correcte :
$\ \begin{pmatrix} 1&k&-1 \\ k&-1&1 \\ k+1&1&0 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$
Est ce que vous pouvez m'aider, merci d'avance !!

Posted by: barbu23

Pour que cette implication soit verifiée, il faut que $\ \begin{pmatrix} 1&k&-1 \\ k&-1&1 \\ k+1&1&0 \end{pmatrix}$ soit inversible, n'est ce pas ?! c'est à dire que : $\ \| {1 \hspace{10cm} k \hspace{10cm} -1 \\ k \hspace{10cm} -1 \hspace{10cm} 1 \\ k+1 \hspace{10cm} 1 \hspace{10cm} 0 } \| \neq 0$ ?

Posted by: fahr451

bonjour c 'est l'onglet espagnol ou maths qui est concerné?

Posted by: barbu23

non, maintenant c'est le coté maths qui pose problème !!
Merci d'avance de votre aide !!

Posted by: barbu23

Il y'a une propriété dans le cours d'algèbre linéaire qui s'enonce comme suit :
$\ A$ est inversible $\ \hspace{10cm} \Longleftrightarrow \hspace{10cm} A.X = 0 \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm}X = 0$
Et je crois que c'est cette propriété qu'il faut appliquer !!
Dans ce cas :
$\ A$ n'est pas inversible $\ \hspace{10cm} \Longleftrightarrow \hspace{10cm} A.X = 0 \hspace{10cm}$ et $\hspace{10cm} X \neq 0$

Posted by: barbu23

help pls

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par barbu23

Bonjour à tous :
J'ai un petit exo d'algèbre linéaire écrit en espagnol que j'ai du mal à comprendre , est ce que vous pouvez me donner quelques pistes pour le resoudre ... ?!
Le voiçi cet exo :
Dado el sistema homogénio : $\ \{{x+k.y-z=0 \\ kx-y+z =0 \\(k+1)x+y=0}$
Averiguar para qué valores de $\ k$ tiene solutiones distintas de $\ x=y=z=0$ . Resolverlo en tales casos.
Merci d'avance !!

Bonjour,
J'ai pas trop compris le texte en espagnol, mais ton implication est correcte, et c'est bien ça qu'il faut utiliser,

lors du calcul du déterminant (développe par raport à la dernière ligne) tu trouve l'inversibilite et tu conclus.

A+

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par sandrine_guillerme

Bien que ce soit en espagnol, on comprend un peu ce que l'énoncé veut dire car il y a une théorie importante à savoir c'est que l'espagnol, ça ressemble au français...

Pour revenir au problème, essaie de montrer une de tes applications qui me semblent correctes.

Posted by: Clembou

Je trouve $k=0$ et $k=-1$ après réduction de la troisième ligne...

Posted by: barbu23

moi je trouve $\ k=2$ ou $\ k=-1$ :
En effet :
$\ \| {1 \hspace{10cm} k \hspace{10cm} -1 \\ k \hspace{10cm} -1 \hspace{10cm} 1 \\k+1 \hspace{10cm} 1 \hspace{10cm} 0 } \| = 0$
$\ \Longrightarrow$
$\ - \| {k \hspace{10cm} -1 \\ k+1 \hspace{10cm} 1} \| - \| {1 \hspace{10cm} k \\ k+1 \hspace{10cm} 1} \| = 0$
$\ \Longrightarrow$
$\ -(k+k+1)-(1-k(k+1)) = 0$
$\ \Longrightarrow$
$\ k^{2}-k-2=0$
$\ \Delta = 1 +8=9 >0$
$\ k_{1} = 2$ ou $\ k_{2} =-1$
Donc, les valeurs de $\ k$ pour lesquelles le système d'équations possède des solutions distinctes de $\ x=y=z=0$ sont : $\ k_{1} = 2$ ou $\ k_{2} =-1$ .
On remplace dans le système d'équations et on obtient :
$\ \{ { x+2y-z=0 \\ 2x-y+z=0 \\ 3.x+y=0 }$
et $\ \{ { x-y-z=0 \\ -x-y+z=0 \\ y=0 }$
Le premier système a pour solutions :

Posted by: barbu23

Bonsoir :
Comment calcule-t-on ,en general, le rang d'une matrice ?!
Merci d'avance !!

Posted by: Skullkid

Bonsoir, il existe plusieurs méthodes. Si la matrice est donnée numériquement et a une taille raisonnable, le pivot de Gauss me semble approprié. Sinon on peut raisonner sur le noyau de la matrice. Ces deux méthodes me semblent les plus simples, mais il y en a sûrement d'autres...

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par Skullkid

mais il y en a sûrement d'autres...

Bonjour

oui, y a beaucoup plus simple et rapide,

quelque soit la taille de la matrice, le rang de cette matrice c'est le format de la plus petite sous matrice inversible,

Posted by: barbu23

D'accord, merci pour ces reponses là !!
Je vais essayer de voir ça sur net !!
merci !!

Posted by: barbu23

Bonsoir :
La question est :
Etudier le rang de la matrice suivante selon selon les valeurs du paramètre $\ m$ :
$\ A = \begin{pmatrix} m&m-1&m(m-1) \\ m&1&m \\ m&1&m-1 \end{pmatrix}$ .
Alors comme vous m'avez recommandé de faire, il faut utiliser la methode du pivot :
Alors :
$\ A = \begin{pmatrix} m&m-1&m(m-1) \\ m&1&m \\ m&1&m-1 \end{pmatrix}$ .
$\ A = \begin{pmatrix} m&m-1&m(m-1) \\ 0&m-2&m(m-2) \\ 0&m-2&(m-1)^{2} \end{pmatrix}$
$\ A = \begin{pmatrix} m&m-1&m(m-1) \\ 0&m-2&m(m-2) \\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$
Mais après je sais pas conclure, comment faire pour terminer, aidez moi svp !!
Merci d'avance !!

Posted by: sandrine_guillerme

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié si les calculs sont bons, mais il me semble que c'est correct,
tu as donc fais le plus dur, maintenant, remplace m par 0, elimines les lignes ou les colonnes qui ne contiennent que des termes nuls, et conclus,
fais de même pour m = 1 et m=2

Appliquons ceci pour m = 0

rg(A) = 2

Je te laisse finir.

P.S: Tu pouvais aussi calculer le déterminant et résoudre l'équation en l'inconnu m et voir là où elle s'annule, fais le pour vérifier !

Posted by: barbu23

D'accord Sandrine, merci !