Algèbre linéaire

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Posted by: CC_

Bonjour!

Je bloque sur la démo suivante : on me demande de prouver que, si F et G sont deux s.e.v de E ; alors F \cup G est aussi un s.e.v seulement si F \subset G ou G \subset F.

La démo suivante est-elle correcte?

Je raisonne en distinguant deux cas :

1°) F et G confondus : alors c'est évident.

2°) Si F et G non confondus, alors : ( \exists {} x \in F | x \notin G \; \; \text{ou} \; \; \exists {} y \in G | y \notin F)[/TEX].
Prenons l'hypothèse \exists {} x \in F | x \notin G .
Soit alors y \in G.
On a alors, pour tout y de G : x + y \in F \cup G, puisque F \cup G est un s.e.v.
Donc, x + y = z \in F \; \text{ou} \; x + y = z' \in G.
L'hypothèse que (x+y) est dans G est impossible, car alors x (= z' - y) serait dans G aussi, ce qui est est contraire à sa définition.
Donc (x+y) est forcément dans F, et donc y (= z - x) est forcément dans F aussi.
Or, on avait dit que y était un élément de G. On montre désormais qu'il appartient aussi à F.
Ce raisonnement étant valable pour tout y de G, on en déduit que G est inclus dans F.
On procéderait de même pour montrer l'alternative F \subset G


Qu'en pensez-vous? Je pense que quelque chose doit clocher, je ne sais pas.

Merci!


Posted by: Amine.MASS

bonjour,
ton raisonement et juste mais c'est pas la peine de refaire la méme chose pour
Citation:
Posté par CC_
On procéderait de même pour montrer l'alternative F \subset G

en effet pour montrer une proposition (C ou D) on suppose (non C) et on montre D,donc pour cette démo il suffisait:
Citation:
Posté par CC_
si \exists {} x \in F | x \notin G .
Soit alors y \in G.
On a alors: x + y \in F \cup G, puisque F \cup G est un s.e.v.
Donc, x + y = z \in F \; \text{ou} \; x + y = z \in G.
L'hypothèse que (x+y) est dans G est impossible, car alors x (= z - y) serait dans G aussi, ce qui est est contraire à sa définition.
Donc (x+y) est forcément dans F, et donc y (= z - x) est forcément dans F aussi.
et ceci pour tout y \in G donc G est inclu dans F


Cordialement,Amine


Posted by: Amine.MASS

re salut,
il y a une remarque,c'est que souvent lorsqu'on a à montrer une equivalence on oublie tjs de montrer l'impliquation evidente (ça me pose un prob ça ) ce qui fait des notes de moins .donc n'oublie pas l'autre impliquation .
Bon courage,


Posted by: CC_

Chouette! Merci beaucoup mam'zelle!

Bonne soirée à toi!










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