Algèbre linéaire - question de cours et applications linéair

[Linea]

Bonsoir à tous,

Des nouveaux p’tits exos que j’arrive plus ou moins à faire !

1er exercice

Les applications linéaires entre les espaces vectoriels E et F sont-elles des applications linéaires ? Si oui, déterminer leur noyau et leur image.

1) E=F=K[X], f : P--> P’

Ma réponse est oui.
Soit v => P(v) = v’
Soit w => P(w) = w’
D’où P(v)+P(w) = v’+w’

V+w => P(v+w)= v’+w’
Donc P(v+w)= P(v)+P(w)

Et puis pour k appartenant aux réels, P(kv) =kv’
Et kP(v)=kv’
Donc kP(v)=P(kv)

2) F : P --> P + XP’ + X^3P’’

Alors là je ne sais pas comment appliquer mon v et w… je doute même alors sur ma réponse précédente… je ne suis pas sûre d’avoir bien traiter le problème… faut dire que je ne comprends pas bien d’où il sort ce « P » ??? Ce n’est pas une application « normale » comme f : (x,y,z) --> … comme d’habitude !

Donc voilà si quelqu’un pouvait m’expliquer un peu mieux…

2ème exercice : (QCM - Vrai ou Faux )

1) Si la famille {e1, e2, … , en } est libre alors il en est de même pour la famille {u(e1), u(e2), … u(en) }.
=> VRAI

2) Si la famille {u(e1), u(e2), … u(en) } est libre alors il en de même pour la famille {e1, e2, … en}.
=> VRAI


3) Si la famille {e1, e2, … , en } est génératrice alors il en est de même pour la famille {u(e1), u(e2), … u(en) }.
=> FAUX

4) Si la famille {u(e1), u(e2), … u(en) } est génératrice, alors il en est de même pour la famille {e1, e2, … , en }.
=> VRAI

5) {u(e1), u(e2), … u(en) } est une base de Im u alors {e1, e2, … , en } est une base d’un sous espace vectoriel supplémentaire à Ker u.
=> FAUX

[Nightmare]

Bonsoir,

1) D'accord, et le Noyau et l'image?

Pour le 2éme c'est toujours pareil.
Tu fixes P et Q deux polynômes et a un réel.
A-t-on f(aP+Q)=af(P)+f(Q) ?

2éme exo :

1) Qu'est-ce que u?
Je suppose que c'est un endomorphisme d'un ev E.

Si une famille est libre, son image aussi => C'est évidemment faux. Il faut que u soit injective pour que ce soit vrai.

Si l'image d'une famille est libre alors la famille l'est aussi. Oui là par contre c'est vrai. Je te laisse le montrer.

Pour la suite utilise le fait que f(Vect(f))=Vect(f(F))

[Linea]

Pour le 2ème :

- Soient P et Q.
F(P+Q) = (P+Q) + X(P’+Q’) + X^3(P’’+Q’’)
F(P)= P + XP’ + X^3P’’
F(Q)= Q +XQ’+X^3Q’’

D’où, F(P)+F(Q) = (P+Q) + X(P’+Q’) + X^3(P’’+Q’’)
Donc, F(P)+F(Q)= F(P+Q).

- Soit P et k un réel.
F(Pk)= kP+ XkP’ + X^3kP’’
F(P)= P + XP’ + X^3P’’ , d’où kF(P)= kP + XkP’ + X^3kP’’

Donc c’est bien une application linéaire !

Sinon, honte à moi Nightmare mais je ne sais pas me débrouiller pour trouver l’image et le noyau… normalement je sais que la réponse c’est de trouver « des bases » .
D’habitude pour trouver une image, je remplace mes x,y,z par les vecteurs « canoniques » ( je sais pas si tu vois ce que je veux dire) mais là comme l’application n’est pas définie sous forme (x,y,z) … ???


Merci d’avance ! :happy2: