Bonsoir,
J'ai récemment eu un examen d'algèbre linéaire, et ayant fait un exercice faux en début d'examen, corrigé par la suite, je n'avais que très peu de temps pour répondre à la question suivante :
Soit F une application linéaire de Mat(3;3;R) -> Mat(3;3;R) telle que
f(C) -> C + . Est-ce que le noyau et l'image de cette application sont en somme directe ?
Ayant que très peu de temps pour répondre et pas de temps pour réfléchir quant à pourquoi on n'a pas de précision sur la nature de t, j'ai utilisé mon instinct de McGyver pour me tirer de la situation avec l'explication suivante, sur laquelle j'aimerais avoir votre avis (est-ce juste) :
Oui, le noyau et l'image de cette application sont en somme directe.
Remarquons d'abord que l'ensemble de départ et d'arrivée de cette fonction sont identiques (automorphisme?), par conséquent, KerF et ImF sont deux sous-espaces vectoriels de Mat(3;3;R). Par le théorème du rang, nous avons que dimV = dimImF + dimKerF, où V = mat(3;3;R) pour ce cas-ci.
Or, par un corollaire connu, nous avons que si U, V sont des sous-espaces vectoriels de W, alors dimU + dimV = dimW s.s.i U et V sont en somme directe (pour des E.V de dimension finie).
Par conséquent, toute application linéaire ayant des ensemble de départ et d'arrivée identiques aura son noyau et son image en somme directe.
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Voilà, est-ce que ça semble tenir la route pour vous, ou y a-t-il une erreur ?
A+