Algèbre - Devoir maison

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Posted by: marie49

Bonjour à tous!
J'ouvre une nouvelle discussion, mais elle est en lien avec celle que j'avais ouvert hier "correspondance en idéaux". J'ai un devoir maison à faire en algèbre mais je n'y arrive pas trop.
Est-ce que vous pouvez regarder ce que j'ai fait et me dire ce que vous en pensez? Ce devoir n'est pas noté mais le prof ne donne pas de correction et je voudrais comprendre mes erreurs!

Citation:
Soit Q\subset\mathbb{Z}[t] un idéal premier et soit q=Q\cap\mathbb{Z}. Soit S=\mathbb{Z}-\left\{ 0 \right\}.

Citation:
1- Montrer que les Q tels que q=(0) sont en bijection avec les idéaux premiers de \mathbb{Q}[t]

Citation:
2- Conclure que si Q\not = 0, alors Q\mathbb{Q}[t]=f\mathbb{Q}[t] où f est irréductible (donc de degré >0)

Citation:
3-Soit \bar f\in\mathbb{Z}[t] la partie primitive de f. Montrer que \bar f\mathbb{Z}[t]\cap{Z}=(0) et que \bar f\mathbb{Q}[t]=f\mathbb{Q}[t]. Conclure que Q=\bar f


J'ai fait les deux premières questions, mais je suis pas sûre pour la 3ème. Voilà ce que j'ai fait :
On remarque que \bar f est irréductible dans \mathbb{Q}[t]. En effet, si \exists g,h\in\mathbb{Q}[t] non nuls et non inversibles tels que \bar f=g.h, alors f=\mu \bar f=\mu (g.h)=(\mu g).h, \mu\in\mathbb{Q} s'écrit comme produit de deux élèments non inversibles, ce qui contredit le fait que f est irréductible.
\mathbb{Q}[t] est factoriel, donc \bar f est premier, et \bar f\mathbb{Q}[t] est un idéal premier de \mathbb{Q}[t]. Comme \bar f est primitif, on en déduit que \bar f\mathbb{Z}[t] est premier. Donc, par la question 1, \bar f\mathbb{Z}[t]\cap{Z}=(0).
Ensuite pour montrer que \bar f\mathbb{Q}[t]=f\mathbb{Q}[t], j'ai écrit que f\mathbb{Q}[t]=\mu \bar f\mathbb{Q}[t] et \mu est une unité donc \mu\mathbb{Q}[t]=\mathbb{Q}[t] donc f \mathbb{Q}[t]=\bar f\mathbb{Q}[t].
Donc finalement on a Q\mathbb{Q}[t]=\bar f\mathbb{Q}[t]. Mais je comprend pas comment expliquer que Q=\bar f ?

J'ai du mal à mettre en ordre mes idées en fait!
J'espère que vous pourrez m'aider!
Merci d'avance


Posted by: marie49

Est-ce que vous pensez que ce que j'ai fait est bon ou pas?
Pas d'idée pour la dernière question?










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