Algèbre bilinéaire

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Posted by: minidiane

Bonjour je n'arrive pas à faire un exercice pouvez-vous m'aider?
Merci.

Soient les trois formes linéaires de V=R^3 définies par f1(x,y,z)=x+2y-3z,f2(x,y,z)=5x-3y, f3(x,y,z)=2x-y-z.
Montrer que {f1,f2,f3} est une base de l'espace dual V*. Déterminer la base de R^3 dont {f1,f2,f3} est une base duale.

Pour la 1ère question j'ai résolu le système suivant:

x+2y-3z=0
5x-3y=0
2x-y-z=0

Et je trouve x=y=z=0.
Est-ce bien cela qu'il fallait faire?
Ensuite je suis bloqué je ne sais pas trop comment il faut faire.


Posted by: fahr451

bonjour c 'est correct mais ce n'est pas la définition de famille libre

tu as utilisé le résultat (f1,...,fp) libre ssi kerf1 inter ...kerfp est de dim n-p


Posted by: minidiane

Je n'ai pas très bien compris sa veut dire que ce n'étais pas ça qu'il fallait faire?


Posted by: minidiane

Personne ne veut m'aider?


Posted by: manelle

Citation:
Posté par minidiane
Personne ne veut m'aider?

Fahr t'a dit OK pour la base (f1,f2,f3) .
Ensuite il reste à chercher (e1,e2,e3) telle que fi(ej)=1 si i=j ou 0 sinon .
En posant e1=(x1,y1,z1) tu résous un premier système (de Cramer) et tu trouves e1 unique , puis tu recommences pour e2 et e3 : tu auras la base anté-duale de (f1,f2,f3) .


Posted by: jose_latino

Citation:
Posté par minidiane
Bonjour je n'arrive pas à faire un exercice pouvez-vous m'aider?
Merci.

Soient les trois formes linéaires de V=R^3 définies par f1(x,y,z)=x+2y-3z,f2(x,y,z)=5x-3y, f3(x,y,z)=2x-y-z.
Montrer que {f1,f2,f3} est une base de l'espace dual V*. Déterminer la base de R^3 dont {f1,f2,f3} est une base duale.

Pour la 1ère question j'ai résolu le système suivant:

x+2y-3z=0
5x-3y=0
2x-y-z=0

Et je trouve x=y=z=0.
Est-ce bien cela qu'il fallait faire?
Ensuite je suis bloqué je ne sais pas trop comment il faut faire.

Je crois que tu n'as pas bien compris la définition de famille libre dans cet cas. Plutôt, tu n'as pas bien compris quels sont les opérations d'espace vectoriel de V^*.
Si f,g\in V^*, f+g:V\to\mathbb{R} est définie par (f+g)(x)=f(x)+g(x), pour tout x\in V (*)
(normalement, on oublie cette définition. La définition de produit par un scalaire est similaire.

Donc, tu as besoin de démontrer que (f_1,f_2,f_3) est une famille libre, il faut démontrer que l'unique solution de \alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2+\alpha_3 f_3=0 (**) (n'oublie pas que 0 ça veut dire la fonction 0: 0(x)=0, pour tout x\in V!!! ) est la triviale.
Mais il faut faire attention que les sommes en (**) sont les sommes entre fonctions comme la décrite en (*), donc, (**) veut dire vraiment que:
\alpha_1 f_1(x)+\alpha_2 f_2(x)+\alpha_3 f_3(x)=0, pour tout x\in V. En conséquent, tu as la liberté de remplacer par valeurs de x adéquates (par exemple la base canonique de \mathbb{R}^3 , comme ça tu obtiendras un système d'équation linéaires.


Posted by: minidiane

ok merci pour votre aide je n'avais pas bien compris en effet merci jose_latino.
Sinon manelle je ne conais pas la méthode de Cramer pourais tu me la donnée?
Merci.


Posted by: manelle

Citation:
Posté par minidiane
ok merci pour votre aide je n'avais pas bien compris en effet merci jose_latino.
Sinon manelle je ne conais pas la méthode de Cramer pourais tu me la donnée?
Merci.

Oublie l'expression "de Cramer" qui est un cas particulier de système linéaire admettant une unique solution (tu devrais voir cela bientôt) , et résous tes systèmes pour trouver tes vecteurs e1,e2,e3 , ton cours doit te justifier d'avance qu'ils existent et sont uniques . N'hésite pas à reposer des questions si tu as des difficultés .


Posted by: minidiane

D'accord merci manelle


Posted by: minidiane

j'ai calculer f1(e1)=a(e1*)(e1)+b(2e*)(e2)+c(e3*)(e3) et j'ai trouvé que c'est égalte à a d'où f(e1)=1.
J'ai fait pareil pour f1(e2) et f1(e3) et j'ai trouvé f1(e2)=2 et f(e3)=-3.
j'ai fait pareil pour f2 et f3.
Est-ce bien comme sa qu'il faut faire?










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