Mathématiques - Algèbre bilinéaire

Algèbre bilinéaire
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Posted by: minidiane

Bonjour je n'arrive pas à faire ces deux exercices pouvez vous m'aider? Merci.

Exercice1

Soit phy la forme linéaire de R^2 définie par phy(2,1)=15 et phy(1,-2)=-10. Trouver phy(x,y) et en particulier phy(-2,7).

Exercice2

Soit {v1=(1,-1,3),v2=(0,1,-1),v3=(0,3,-2)} une base de R^3. Trouver la base duale.
Je n'est pas trop compris ce qu'est une base duale.

Posted by: jose_latino

Bonjour,
Pour trouver $\phi(-2,7)$ il suffit d'exprimer (-2,7) comme combinaison linéaire des vecteurs (2,1) et (1,-2), car, comme $\phi$ est linéaire et $(-2,7) =\alpha(2,1)+\beta (1,-2)$ , , où a et b sont des scalaires., donc $\phi(-2,7) =a\phi(2,1)+b\phi(1,-2)$ .

Posted by: yos

1) 2a+b=15 et a-2b=-10 donc ...

2) Tu cherches trois formes linéaires $f_1,f_2,f_3$ telles que $f_i(v_j)=\delta_{ij}$ . C'est immédiat puisqu'une application linéaire est définie par l'image d'une base.

Posted by: jose_latino

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie. Si $\mathcal{B}:=\{u_1,...,u_n\}$ est une base de $V$ , la base duale $\mathcal{B}^*=\{u_1^*,...,u_n^*\}$ est l'ensemble des fonctions coordonnées par rapport à $\mathcal{B}$ , ça veut dire s'on applique $u_i^*$ à un vecteur $v$ on retrouve le coefficient du vecteur $u_i$ lorsque on exprime $v$ en fonction de cette base.

Exemple: $\{u_1,u_2\}$ où $u_1=(1,1), u_2=(1,-1)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ , la base duale est $\{u^*_1,u^*_2\}$ , on va trouver la règle de correspondence, comme:
$(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)(1,1)+\frac{1}{2}(x-y)(1,-1)$
donc, $u^*_1(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)$

Posted by: minidiane

Merci de m'aider c'est gentil à vous.

1) j'ai trouvé phy(x,y)=4x+7y
mais je n'arrive pas à trouver phy(-2,7) même avec la manière de jose_latino

2)Je comprend toujours pas comment je dois faire

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par jose_latino

Exemple: $\{u_1,u_2\}$ où $u_1=(1,1), u_2=(1,-1)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ , la base duale est $\{u^*_1,u^*_2\}$ , on va trouver la règle de correspondence, comme:
$(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)(1,1)+\frac{1}{2}(x-y)(1,-1)$
donc, $u^*_1(x,y)=\frac{1}{2}(x+y)$

Si tu as compris l'exemple tu peux le faire: exprime un vecteur quelconque (x,y,z) de $\mathbb{R}^3$ comme combinaison linéaire de $(1,-1,3), (0,1,-1), (0,3,-2)$ . Écris le résultat ici et on continuera...

Posted by: minidiane

Citation:

Posté par jose_latino

Pourquoi on à un 1/2?

Posted by: minidiane

Sinon j'ai écrit f1(x1,x2,x3)=x1-x2+3x3
f2(x1,x2,x3)=x2-x3
f3(x1,x2,x3)=3x2-2x3
Meis je ne sais pas si c'est possible faire sa et après je suis bloqué

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par minidiane

Pourquoi on à un 1/2?

En fait, tu peux trouver ces coefficients en résoudrant le système d'équations:
$(x,y)=A(1,1)+B(1,-1)$ , sinon tu peux le vérifier les opérations directement.

Posted by: minidiane

Désolé je ne vois pas comment on trouve les coefficients.

Posted by: sandrine_guillerme

Citation:

Posté par minidiane

Pourquoi on à un 1/2?

Salut José, Salut minidiane :)

ce n'est pas tout simplement en cours qu'on a ça ? pour la polarisation en générale?

je sais pas, je débute encore en algèbre bi, mais c'est comme ça que je vois les choses moi !

Posted by: minidiane

Salut Sandrine.

Je ne sais pas j'ai eu un seul cours d'algèbre bilinéaire pour l'instant et on a une feuille d'exos à faire et pour l'instant je galère.

Posted by: yos

Le 1) c'est OK je crois?

Pour le 2), tu as trois formes linéaires à trouver. La première, que je note $f_1$ doit valoir 0 en $V_2$ et en $V_3$ , et doit valoir 1 en $V_1$ . En principe on pourrait s'arrêter là puisque la forme est déterminée par l'image de la base $(V_1, V_2, V_3)$ . Cependant, il est vraisemblable qu'on veuille la matrice de $f_1$ dans la base canonique, c'est-à-dire qu'on veut f(x,y,z) pour (x,y,z) dans $R^3$ .
On pose f(x,y,z)=ax+by+cz. On a donc b-c=0, 3b-2c=0, et a-b+3c=1. Si tu ne trouves pas a,b,c avec ça...
Pareil pour $f_2, f_3$ .

Posted by: jose_latino

Citation:

Posté par jose_latino

En fait, tu peux trouver ces coefficients en résoudrant le système d'équations:
$(x,y)=A(1,1)+B(1,-1)$ , sinon tu peux le vérifier les opérations directement.

$(x,y)=A(1,1)+B(1,-1)$ te donne un système d'équations;
$x=A+B$
$y=A-B$
En résoudrant ce système tu trouveras A et B

Posted by: minidiane

Citation:

Posté par yos

Le 1) c'est OK je crois?

Pour le 2), tu as trois formes linéaires à trouver. La première, que je note $f_1$ doit valoir 0 en $V_2$ et en $V_3$ , et doit valoir 1 en $V_1$ . En principe on pourrait s'arrêter là puisque la forme est déterminée par l'image de la base $(V_1, V_2, V_3)$ . Cependant, il est vraisemblable qu'on veuille la matrice de $f_1$ dans la base canonique, c'est-à-dire qu'on veut f(x,y,z) pour (x,y,z) dans $R^3$ .
On pose f(x,y,z)=ax+by+cz. On a donc b-c=0, 3b-2c=0, et a-b+3c=1. Si tu ne trouves pas a,b,c avec ça...
Pareil pour $f_2, f_3$ .

Ok je crois que j'ai compris merci yvos et pour le 1) c'est bon

Posted by: minidiane

J'ai un problème pour un autre exercice voici l'exercice.

Soit V l'espace vectoriel des polynômes sur R de degré inférieur ou égale à 1 et soient
f1(P)=intégrale de 0 à 1 de P(t)dt et f2(P)= intégrale de 0 à 2 de P(t)dt.
Vérifier que {f1,f2} est une base de V*. Trouver la base {P1,P2} de V telle que {f1,f2} en soit la base duale.

Voilà je ne sias pas comment vérifier que {f1,f2} est une base de V*.
Pouvez vous m'aider? Merci

Posted by: yos

Il suffit de prouver que c'est une partie libre. En effet, la dimension de l'espace est 2.
Pour ça, tu écris $af_1+bf_2=0$ et tu l'appliques à deux polynômes particuliers (1 et X) et tu en tires des relations entre a et b qui mènent à a=b=0.

Posted by: minidiane

Je dois calculer f1 et f2 en prenant d'abord 1 comme polynôme puis x ou je dois prendre par exemple pour f1 1 et pour f2 x?
Je ne sais pas si j'ai été très clair.

Posted by: yos

$f_1$ et $f_2$ tu ne peux pas les choisir. Mais tu peux choisir le polynôme P auquel on les applique.
Si $af_1+bf_2=0$ , c'est que pour tout polynôme P, $af_1(P)+bf_2(P)=0$ , en particulier avec P=1, ça te donne $a\int_0^11dt+b\int_0^21dt=0$ , c'est-à-dire a+2b=0. Ensuite tu recommences avec X à la place de 1. ...

Posted by: minidiane

D'accord j'ai compris merci.
Je trouve donc a+2b=0 et 1/2a+2b=0 et ce système me donne donc a=b=0.
Ce qui prouve donc que c'est un espace libre.
Cela montre donc que c'est une base ou il faut encore montrer autre chose pour montrer que c'est une base?

Posted by: yos

Une partie libre maximale est une base.
(maximale=dont le nombre d'éléments égale la dimension de l'espace, ici 2).

Posted by: minidiane

Ok merci yvos.
Pour montrer que c'est une base duale j'utilise le fait que phi1(P1)=1, phi1(P2)=0 et phi2(P1)=0 , phi2(P2)=1. C'est bien sa?

Posted by: yos

Ben si je relis l'énoncé que tu as mis, c'est à toi de trouver $P_1$ et $P_2$ . Mais c'est facile : $P_1(X)=aX+b$ , son intégrale de 0 à 1 vaut 1 et son intégrale de 0 à 2 vaut 0. Du calcul pour trouver a et b.

Posted by: minidiane

Donc je dois calculer f1(P1) et f2(P1) pour trouver a et b c'est bien sa?

Posted by: yos

Oui c'est ça.

Posted by: minidiane

ok merci j'ai trouver a=2 et b=-2. Donc P1(x)=2-2x.
Et je dois procéder de même pour p2 je pense.

Posted by: minidiane

Sinon j'ai un problème pour un aute exercice. Voici l'exo.

Soit V l'espace vectoriel des polynômes sur R de degré inférieur ou égake à 2 et soeibt phi1,phi2 et phi3 les formes linéaires définies par f1(P)=intégrale de 0 à 1 de P(t)dt , f2(P)=P'(1) et f3(P)=P(0), où P' est la dérivée de P.
Vérifier que {f1,f2,f3} est une base de V*. Trouver la basee {P1,P2,P3} de V telle que {f1,f2,f3} en soit la base duale.

Je sais que c'est le même type d'exercice qu'avant mais je n'arrive pas à vérifier que{f1,f2,f3} est une base de V*.
ici dimV=dimV*=3
Pour montrer que f1 , f2 , f3 est une base de V*, il suffit de montrer que ces 3 formes sont indépendantes.
af1+bf2+cf3=0
Ceci signifie que:
af1(P)+bf2(P)+cf3(P)=0 pour tout P de V
Je pense qu'il faut prendre P=1 puis P(t)=t et enfin P(t)=t²
Mais j'ai un soucis avec P'(1) et P(0) vu que je ne sais pas ceux qui valent.
Pouvez vous m'aider encore un peu?
Merci.