Mathématiques - Algèbre de Banach (licence)

Algèbre de Banach (licence)
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Posted by: Zebulon

Bonsoir,
voilà quelques jours que je cherche mon DM, et je reste bloquée sur une question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Contexte :

X est un espace topologique compact.
On note C(x)=ev complexe des fonctions continues de X vers $\Large \mathbb{C}$ . Alors C(X) est une algèbre de Banach unitaire commutative avec la norme $\Large ||f||=sup\limits_{x\in X} |f(x)|$ .
Définition d'un caractère : soit A une algèbre de Banach, on appelle caractère sur A un morphisme d'algèbre unitaire de A vers $\Large \mathbb{C}$ , c'est-à-dire une application linéaire $\Large \chi:A\to \mathbb{C}$ , telle que $\Large \chi(1)=1$ et pour tous x et y de A, $\Large \chi(xy)=\chi(x)chi(y)$ .

Voici la question :
Pour tout $\Large f\in C(X)$ , on pose $\Large U_f=\{x\in X|f(x)\neq0\}$ . Soit $\Large \chi$ un caractère de C(X).
Montrer que la famille $\Large (U_f)_{f\in Ker(\chi)}$ ne recouvre pas X.

Voici ce que j'ai montré dans les questions précédentes :
pour toute algèbre de Banach A :
si $\Large ||x||<1$ , alors $\Large \chi(x)\neq1$
$\Large \chi$ est continue et $\Large ||\chi||=1$
si $\Large \chi_1$ et $\Large \chi_2$ sont deux caractères de A et $\Large ker(\chi_1)\subseteq ker(\chi_2)$ , alors $\Large \chi_1=\chi_2$ .

J'ai essayé beaucoup de trucs :
trouver un point de X, dans aucun des $U_f$ , comme limite d'une suite $\Large (x_n)$ de X, où chaque $\Large x_n$ est dans un nombre fini de $\Large U_f$ , et tels qu'ils annulent chacun un nombre infini de $\Large f\in ker(\chi)$ , mais je ne sais pas construire une telle suite,
supposer que les $\Large U_f$ recouvrent X, on en extrait donc un recouvrement fini, mais je n'arrive pas à conclure,
construire une f dans $\Large ker(\chi)$ qui annule un point x, f comme limite uniforme de $\Large f_n\in ker(\chi)$ n'annulant pas x, mais alors quel x prendre...

Si vous pouviez me mettre sur la voie...
Merci d'avance.

Posted by: yos

Bonsoir Zébulon.
Là j'ai pas le temps, mais si ça recouvrait X et comme c'est des ouverts, tu pourrais en extraire un sous recouvrement fini, et trouver une contradiction.

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par yos

Bonsoir Zébulon.
Là j'ai pas le temps, mais si ça recouvrait X et comme c'est des ouverts, tu pourrais en extraire un sous recouvrement fini, et trouver une contradiction.

J'ai bien essayé, mais je ne trouve aucune contradiction !

Citation:

Posté par Zebulon

supposer que les $\Large (U_f)$ recouvrent X, on en extrait donc un recouvrement fini, mais je n'arrive pas à conclure

Posted by: fahr451

bonsoir zebulon

supposons qu un tel recouvrement existe

on en extrait un sous recouvrement fini f1,...,fn

on pose f = sigma (i= 1,...n ) module fi ^2

f est dans A khi (f) = 0

f ne s annule pas sur X on pose g = 1/f dans A

on a gf= 1 donc X(1) = X(f)X(g) = 0 absurde

Posted by: yos

Oui désolé. J'avais pas tout lu. Je regarderai assez tard si personne n'a pu te répondre.

Posted by: yos

D'ailleurs c'est fait semble-t-il.

Posted by: fahr451

ben ben, ça compte pas comme réponse ?

Posted by: Zebulon

Merci beaucoup !
J'ai quand même quelques questions...

Citation:

Posté par fahr451

supposons qu un tel recouvrement existe

on en extrait un sous recouvrement fini f1,...,fn

on pose f = sigma (i= 1,...n ) module fi ^2

donc $\Large f(x)=\sum\limits_{1\leq i\leq n} |f_i(x)|^2$ (pour faire un joli sigma) ?

Citation:

f est dans A

OK (je rappelle que dans cette question, A=C(X)).

Citation:

khi (f) = 0

Pourquoi ? Que vaut $\Large \chi(|f_i|)$ ? $\Large |f_i|$ , c'est bien la fonction $\Large x\to |f_i(x)|$ ?

Citation:

f ne s annule pas sur X

Et si $\Large x\in\cap\limits_{1\leq i\leq n} U_{f_i}$ ? f ne s'annule pas sur tout X (c'est ce qu'on a supposé), mais pourquoi elle ne s'annule pas du tout ?

Citation:

on pose g = 1/f dans A
on a gf= 1 donc X(1) = X(f)X(g) = 0 absurde

OK en admettant tout ce qui précède.
Encore merci !

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par Zebulon

Et si $\Large x\in\cap\limits_{1\leq i\leq n} U_{f_i}$ ? f ne s'annule pas sur tout X (c'est ce qu'on a supposé), mais pourquoi elle ne s'annule pas du tout ?

En fait, ça c'est bon, j'ai compris.
Donc le seul truc que je ne vois pas, c'est pourquoi $\Large \chi(|f|)=0$ .

Posted by: fahr451

par définition les f i sont ds Ker X

on pose gi = f i f i(barre) g i est bien dans A
X étant un caractère
X (gi) = X(f i) X (f i barre) = 0

et f comme somme des g i est aussi ds Ker X ( X est linéaire)

pour tout x un des fi(x) ne s annule pas donc un des termes d ela somme est strictement positif les autres sont positifs ou nuls

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par fahr451

par définition les f i sont ds Ker X

on pose gi = f i f i(barre) g i est bien dans A
X étant un caractère
X (gi) = X(f i) X (f i barre) = 0

et f comme somme des g i est aussi ds Ker X ( X est linéaire)

pour tout x un des fi(x) ne s annule pas donc un des termes d ela somme est strictement positif les autres sont positifs ou nuls

Merci ! Mille fois merci !

Encore une petite question : comment as-tu trouvé une f qui marchait en si peu de temps alors que j'ai cherché des heures sans rien trouver ?