Mathématiques - Aire Du Triangle

Aire Du Triangle
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Posted by: Steve

Bonjour,

Pourriez-vous me dire comment démontrer que l'aire d'un triangle est égale au produit du demi-périmétre par le rayon du cercle inscrit.

Posted by: PaTaPoOF

Bonsoir (ou plutôt bonne nuit vu l'heure),

Soit un triangle quelconque ABC d'aire S, O le centre du cercle circonscrit au triangle de rayon R et I le centre du cercle inscrit dans le triangle de rayon r.
On note a, b et c les côtés opposés à $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ , et $\widehat{C}$ respectivement, et p le demi-périmètre de ABC.
Je te conseille de faire une figure pour suivre.

D'après le théorème de l'angle au centre :
$\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BAC}$ si A est sur le grand arc.
$\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\pi-\widehat{BAC} (\pi)$ si A est sur le petit arc.

Donc dans tous les cas, $\sin\widehat{A}=\sin\widehat{BAC}=\frac{1}{2} \sin\widehat{BOC}$

Comme le triangle BOC est isocèle, on a :
$\frac{1}{2}\sin\widehat{BOC}=\frac{1}{2}\frac{BC}{ R}=\frac{1}{2} \frac{a}{R}$

D'où : $\sin\widehat{A}=\frac{1}{2}\frac{a}{R}$ et $\frac{a}{\sin\widehat{A}}=2R$

Sachant que $S=\frac{1}{2}bcsin\widehat{A}$ , on a $S=\frac{1}{2}bc\times\frac{1}{2}\frac{a}{R}$ .

D'où $S=\frac{abc}{4R}$

Enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont respectivement $\frac{1}{2}ar$ , $\frac{1}{2}br$ et $\frac{1}{2}cr$ , il vient :

$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r=pr$

Voilà voilà. Un peu compliqué pour du niveau collège, plaqué comme ça je trouve.

Posted by: Steve

Merci beaucoup

Posted by: PaTaPoOF

De rien mais promets-moi seulement que tu ne te contenteras pas de recopier la démonstration ;)

Posted by: Steve

T'inquiète pas. Ce n'est pas du niveau de 4ème.
Mais le début va m'aider à poursuivre les recherches.
Je n'ai pas encore appris les sinus. Ce sera en 3ème.

Merci encore

Posted by: PaTaPoOF

Ah, il y a peut-être une autre méthode alors, si quelqu'un a une idée...

Posted by: rene38

Bonjour
ABC est un triangle ; I est le centre du cercle inscrit ;
I se projette orthogonalement en A', B' et C' respectivement sur [BC], [CA] et [AB].
On obtient 6 triangles rectangles dont la somme des aires est l'aire de ABC.
De plus, IA'=IB'=IC'=rayon du cercle inscrit ;
AB'=AC' ; BA'=BC' et CA'=CB' (propriété des bissectrices).
Il doit être facile de terminer.

Posted by: Steve

Merci beaucoup pour ta réponse.
Je vais continuer