Soit E un evn, F un sev de dimension finie, et soit a appartenant à E.
Il me faut montrer que:
F est fermé
Il existe x dans F tel que || a-x || = d(a,F)
Si Fdifférent de E, alors il existe un vecteur a de E tel que ||a||=1 et
d(a,F)=1
Merci d'avance
Posted by: Osiris
Elodie wrote:
> Soit E un evn, F un sev de dimension finie, et soit a appartenant à E.
> Il me faut montrer que:
> F est fermé
Il suffit de montrer que F est complet dans E.
Pour cela, tu prends une suite de Cauchy de F que tu décomposes suivant une base
par exemple u_n=u1_n*e1+ u2_n *e2+ ..+ up_n* ep
chacune des suites (ui_n) est de Cauchy dans le corps de référence (qui est
souvent R ou C heureusement), donc converge.
F est donc complet et un complet est fermé.
> Il existe x dans F tel que || a-x || = d(a,F)
là,je ne vois pas trop.
j'ai envie d'utiliser la convexité de F ou l'identité du parallélogramme, mais
tu ne dis pas si le norme dérive d'une produit scalaire.
> Si F différent de E, alors il existe un vecteur a de E tel que ||a||=1 et
> d(a,F)=1
soit h: S_E(0,1)----> R+
a |---> d(a,F)
Les inégalités trinagulaires assurent que f est lipschitzienne sur la sphère
unité de E, donc donctinue.
il s'agit de montrer que h(S_E)=[0,+oo[
supposons par l'absurde que h(S_E) soit borné, alors il existe e tel que
pour tout a dans S_E, d(a,F)<e
ainsi, pour tout x dans F,||a-x||< e et donc ||x||<e+ ||a|| <= e+1
or F étant un espace vectoriel ne peut être borné.
ainsi, h(S_E) n'est pas borné et 1 admet bien un antécédent sur S_E .
Posted by: Julien Santini
> > Il existe x dans F tel que || a-x || = d(a,F)
>
> là,je ne vois pas trop.
> j'ai envie d'utiliser la convexité de F ou l'identité du parallélogramme,
mais
> tu ne dis pas si le norme dérive d'une produit scalaire.
Si qqn a une idée ça m'intéresse aussi ...
Posted by: Xavier Caruso
"Julien Santini" , dans le message (fr.education.entraide.maths:50091),
a écrit :
> Si qqn a une idée ça m'intéresse aussi ...
On peut pas se ramener en dimension finie en considérant E' l'espace
vectoriel engendré par F et par x, et en disant que tout se passe dans
E' ?
--
Xavier, qui ne vois pas le piège.
Posted by: Osiris
Julien Santini wrote:
>>>Il existe x dans F tel que || a-x || = d(a,F)
>>
>>là,je ne vois pas trop.
>>j'ai envie d'utiliser la convexité de F ou l'identité du parallélogramme,
>
> mais
>
>>tu ne dis pas si le norme dérive d'une produit scalaire.
>
>
> Si qqn a une idée ça m'intéresse aussi ...
Ouais, parce que si la norme dérive d'un produit scalaire, on prend la
projection de x sur F et c'est gagné
mais j'crois que la complétude de F devrait suffire aussi (je CROIS avoir vu ça
en prépas), mais la preuve ne m'avait pas semblé evidente...
Posted by: Aurélia
La norme ne dérive pas d'un produit scalaire
"Julien Santini" <santini.julien@wanadoo.fr> a écrit dans le message de
news: bnp40q$kps$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> > > Il existe x dans F tel que || a-x || = d(a,F)
> >
> > là,je ne vois pas trop.
> > j'ai envie d'utiliser la convexité de F ou l'identité du
parallélogramme,
> mais
> > tu ne dis pas si le norme dérive d'une produit scalaire.
>
> Si qqn a une idée ça m'intéresse aussi ...
>
>
Posted by: Osiris
Aurélia wrote:
> La norme ne dérive pas d'un produit scalaire
et on sait quoi sur E, préhilbertien ?ou rien du tout.
tu peux nous préciser concrètement les hypothèses ?
Posted by: Xavier Caruso
Bon, ben, apparemment, personne ne veut lire ma réponse. Bouh.
--
Xavier, que Nicolas un calin, s'il te plaît...
Posted by: Aurélia
Le hypothèse sont juste : E evn et F sev de dimension finie.
"Osiris" <osiris@africa.net> a écrit dans le message de news:
bnqobe$7om$1@biggoron.nerim.net...
> Aurélia wrote:
> > La norme ne dérive pas d'un produit scalaire
>
> et on sait quoi sur E, préhilbertien ?ou rien du tout.
> tu peux nous préciser concrètement les hypothèses ?
>
Posted by: Osiris
Xavier Caruso wrote:
> Bon, ben, apparemment, personne ne veut lire ma réponse. Bouh.
je ne la vois pas
Posted by: Osiris
Xavier Caruso wrote:
> On peut pas se ramener en dimension finie en considérant E' l'espace
> vectoriel engendré par F et par x, et en disant que tout se passe dans
> E' ?
je n'ai même pas vu le problème que posait la dimension, mais comment trouver x ?
je ne vois pas de solution simple si la norme ne dérive pas d'un produit scalaire
Posted by: Xavier Caruso
Osiris , dans le message (fr.education.entraide.maths:50155), a écrit :
> je n'ai même pas vu le problème que posait la dimension
Ah pardon, je pensais que c'était ça le principal problème.
> mais comment trouver x ? je ne vois pas de solution simple si la norme
> ne dérive pas d'un produit scalaire
Par exemple : on note d la distance de a à F. On construit une suite
(x_n) d'éléments de F tels que d(a,x_n) < d+1/n. Tous les x_n sont donc
contenues dans une boule fermée, compacte puisqu'on est en dimension
finie. La suite des (x_n) admet donc une valeur d'adhrérence. Celle-ci
est dans F puisque F est fermé ; et pour tout n, puisque la distance à
a est une fonction continue d(a,x) <= d+1/n. Donc d(a,x) = d.
Posted by: Nicolas Richard
Xavier Caruso a écrit :
> Bon, ben, apparemment, personne ne veut lire ma réponse. Bouh.
> --
> Xavier, que Nicolas un calin, s'il te plaît...
*hug*
--
Nico, on ne me parlait pas, peut-être?
Posted by: Xavier Caruso
Nicolas Richard , dans le message (fr.education.entraide.maths:50204), a
écrit :
> Nico, on ne me parlait pas, peut-être?
A priori, non, effectivement. Mais il est le bienvenu aussi ton calin,
hein ;-)