Mathématiques - Aide pour devoirs d'été prépa urgent

Aide pour devoirs d'été prépa urgent
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Posted by: louft

Bien le bonjour,

Je m'appele Louft et je rentre en prépa HEC en région parisienne.
Malheuresuement, j'ai un petit paquet d'exos à faire pour la rentrée des classes, notés.

J'ai pas mal besoin d'aide car les exos sont d'un niveau tout a fait honnêtes pour un élève d'un niveau correct seulement.

Quelqu'un serait-il prêt à m'aider s'il vous plait, au jour le jour car je travaille tous les jours et j'ai déjà une petite liste de difficultées ?!?

Je m'en remets à vous :)

Posted by: mathfun

bonjour

tu peux bien poser ta liste de difficultés il se peut qu' on aide monsieur ok? ;)

Posted by: louft

Merci, merci, merci ,,,

==> Bien, mon premier est une fonction de Gompertz de type :
x(t)= K e [ -A e(-Bt) ] .

J'ai étudié les varations de cette fonction avec K=6,A=2,B=1/2.

On me demande d'interpréter maintenant K; K e(-A) ; (1/B)lnA .

==> Prouver que f(x)= A^x ( à lire A puissance x ) est la fonction réciproque de log(A): x -> ln(x)/lna .

==> Soit deux réels a et b tq 0<a<b .

Montrer que a^b ( a puissance b ) et b^a ( b puissance a ) sont rangés dans le même ordre que : ln(a)/a et ln(b)/b .

==> Une autre difficultée dont j'ai honte :confused: . Je n'arrive pas à prouver la limite de ln(x)/x en plus l'infini. Y a une forme indeterminée que j'arrive pas à lever en fait.

==> Trouver tous les entiers naturels p et q distincts non nuls tels que p^q = q^p . ( rapport à la difficultée deux lignes au dessus )

==> Soit µ: x-> (1+x)^µ - (1+ µx )

Montrer que µ est dérivable.

Voila les difficultées des exerices allant du numéro 1 à 8 ( j'en ai 34 à faire ,,, ).
Ca vous parait dur ? Quelqu'un serait t'il prêt à m'aider ?

Sinon, je comprendrais fort bien :)

Sur ce, bonne soirée

Posted by: Nightmare

Bonjour :)

Pour la 2.

$\rm\frac{ln(a^{x})}{ln(a)}=\frac{xln(a)}{ln(a)}=x$
et
$\rm a^{\frac{ln(x)}{ln(a)}}=e^{\frac{ln(x)}{ln(a)}ln(a )}=e^{ln(x)}=x$ (pour x positive bien sur)

4. pour tout x de ]1;+oo[ :
$\rm 0<ln(x)=\Bigint_{1}^{x} \frac{dt}{t}\le \Bigint_{1}^{x} \frac{dt}{\sqrt{t}}=[2\sqrt{t}]^{x}_{1}<2\sqrt{x}$
d'où $\rm 0<\frac{ln(x)}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}$

et par le théorème d'encadrement le rapport converge vers 0

Voila déja ça, c'était celles qui me paraissaient les plus évidentes je cherche pour les autres :)

:)
Jord

Posted by: Nightmare

Le 3 :

$\rm \frac{a^{b}}{b^{a}}=e^{bln(a)-aln(b)}$

On veut comparer le quotient à 1 donc $e^{bln(a)-aln(b)}$ à 1 soit $bln(a)-aln(b)$ à 0

On résoud alors :
$bln(a)-aln(b)\le 0\Leftrightarrow bln(a)\le aln(b)\Leftrightarrow \frac{ln(a)}{a}\le \frac{ln(b)}{b}$

même chose pour l'ordre inverse

:)
Jord

Posted by: Nightmare

La 5.

Un peu la même chose, on est amené à résoudre :
$\frac{ln(p)}{p}=\frac{ln(q)}{q}$ sur N

Essaye de voir les couples d'entiers qui conviendraient.

Posted by: Nightmare

Pour le 6 je ne comprend pas ta fonction.

est-ce la fonction :
$\rm \mu : x\to (1+x)^{\mu(x)}-(1+\mu(x)x)$ ?

La fonction telle que tu l'as écrit n'a aucun sens.

:)
jord

Posted by: louft

Nightmare, merci bcp ! Je prends bonne note de ce que tu me dis et je vais voir si je comprends tout bien :) T'es en premiere ?!? T'as 20 en maths et tu t'ennuies alors ,,, Pcq je me rappele de l'année derniere, j'aurais pas été capable de répondre à ces problèmes, on avait pas les "armes" !

Pour la difficultée 6 : C'est (1+x) (puissance) µ ! J'aurais du utiliser des lettres différentes. Désolé ,,,

Bon ! Deux heures de maths aujourd'hui = de nouvelles difficultées :)

==> Je dois tracer la courbe de la fonction qui à x associe f(x) avec f(x) = K/[ 1 + e(-r(t-t0)) ]

Je comprends pas comment on peut tracer cette courbe,,, y a trop d'inconnues non ? Il me donne des valeurs apres pendant l'exercice mais je pense pas que ce soit çà qu'ils attendent.

==> Une autre difficultée dont je ne suis pas fier ,,,

Montrer que f(x) = sin(x) / cos(x)^3 est dérivable sur [0;П/4] et calculer sa dérivée ( si si j'ai pas réussi ). En déduire une primitive de 1/cos(x)^4 sur cet interval.
Je suppose qu'en faisant une derivée j'aurais du aboutir à un truc qui ressemble ou qui me permet de rebondir mais j'ai pas réussi ,,,

==> J'ai du calculer deux intégrales et en faire la somme. Je trouve 1.
Il me demande de retrouver la valeur de cette somme par des considérations sur les aires.
Les deux fonctions sont x^µ et les x^(1/µ) et les bornes des intégrales 0 et 1. J'ai bien vu que c'etait des fonctions réciproques,enfin je crois.

Oufffff ! Fini pour ajourd'hui ! Quand j'aurais terminé cette derniere difficultée j'aurais terminé l'exercice 12 ! J'avance, hein !!!!!!

Bonne soirée à vous, messieurs-dames

Posted by: Nightmare

Re

Non je ne m'ennuie pas encore car on a toujours à apprendre ;)

Pour le 6- la lettre qu'est en exposant est la même que le nom de la fonction ?

7- quel est l'exercice en entier ?

8- $x\mapsto sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (donc sur $[0;\frac{\pi}{4}]$ ), $x\mapsto cos^{3}(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc sur $[0;\frac{\pi}{4}]$ et ne s'annule pas sur cet intervalle.
On en déduit que le quotient de ces deux fonction est dérivable sur $[0;\frac{\pi}{4}]$

On pose :
$3$\rm u(x)=sin(x)\Rightarrow u'(x)=cos(x)$
et
$3$\rm v(x)=cos^{3}(x)\Rightarrow v'(x)=-3sin(x)cos^{2}(x)$

On est en présence de la forme :
$3$\rm $\frac{u}{v}$'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$

Ainsi :
$3$\rm f'(x)=\frac{cos(x) cos^{3}(x)+3sin(x)cos^{2}(x)sin(x)}{cos^{6}(x)}$
$3$\rm =\frac{cos^{2}(x)(cos^{2}(x)+3sin^{2}(x))}{cos^{6} (x)}$
$3$\rm =\frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)+2sin^{2}(x)}{cos^{4}( x)}$
$3$\rm =\frac{2sin^{2}(x)}{cos^{4}(x)}$

On a à présent :
$3$\rm \frac{2sin^{2}(x)}{cos^{4}(x)}=\frac{2(1-cos^{2}(x))}{cos^{4}(x)}=\frac{2}{cos^{4}(x)}-\frac{2}{cos^{2}(x)}$

On en déduit :
$3$\rm \Bigint $\frac{2}{cos^{4}(x)}-\frac{2}{cos^{2}(x)}$dx=f(x)$
soit
$3$\rm \Bigint \frac{2dx}{cos^{4}(x)}=f(x)+\Bigint \frac{2dx}{cos^{2}(x)}$
il advient
$3$\rm \Bigint \frac{dx}{cos^{4}(x)}=\frac{1}{2}f(x)+\Bigint \frac{dx}{cos^{2}(x)}$

Au final :
$3$\rm \Bigint \frac{dx}{cos^{4}(x)}=\frac{1}{2}f(x)+tan(x)$

Voila

:)
Jord

Posted by: louft

Merci !

Mais dans ton développement pour la dérivée, tu as à une ligne cos²x+sin²x+2sin²x et à la ligne d'apres il ne reste plus que 2sin²x ,,, Il devrait pas rester 1+2sin²x ?

Pour la 6 : Oui c'est bien la meme lettre, c'est une erreur de ma part je l'avoue !

Je suis content d'avoir de bonnes pistes pour m'y remettre demain ! ! !

La suite au prochain épisode :)

Posted by: Nightmare

Oui effectivement une petite erreur de ma part il manque l'unité, je te laisse corriger tout ça

:)
Jord

Posted by: louft

Bon bon bon ,,, Ca fait quelques jours que j'ai pas posté car j'ai pas rencontré de difficultées majeures ! J'avance à grands pas dans mes exos d'été :) J'ai meme redémontré la formule de Wallis ( on va dire que c'est pas juste des grands mots et que c'etait dur ! )

Aujourd'hui néanmoins j'ai besoin d'un peu d'aide !

==> Pour x€ R+, étudier lim n-> + l'inf (1+x/n)^n ( c'est tout ce qu'il y a dans la parenthese qui est à la puissance n )
On pourra étudier ln(1+x/n) ^n.

Donc j'ai étudié la fonction et tout mais je trouve soit +l'inf soit 1. Donc je sais pas quel résultat prendre !!!

==> J'arrive pas à trouver la limite en -l'inf de la fonction (2x+1)e(-x) . Je sais que c'est -l'inf mais j'arrive pas a le prouver ( meme en tentant changement de variables et tout ).

Dans le meme exo je dois trouver les deux solutions de f(x)=x donc une appartenant à [1;5/4]. f étant la fonction écrite au dessus. J'ai pas réussi, çà doit pourtant pas etre sorcier ,,, Je m'y remets demain de toute façon.

Si j'ai quelques petites pistes pour m'y remettre demain je serais bien content. Merci d'avance !

Posted by: mathador

Salut !
la limite de (1+x/n)^n en +oo avec x dans R+ est 1 si x=0; e sinon. C'est un truc très classique, qui se démontre en étudiant ce qui t'a été donné ... creuse encore, maintenant que tu sais où tu dois aller

Pour le second problème, il suffit de dire que la limite en -oo de 2x-1 est -oo, et celle de e^(-x) en -oo est +oo.
Le produit -oo x +oo n'est pas une forme indéterminée !!!! ça fait -oo ... tout simplement.
Bon courage pour la suite!

Posted by: phenomene

Citation:

Posté par mathador

Salut !
la limite de (1+x/n)^n en +oo avec x dans R+ est 1 si x=0; e sinon.

Petit lapsus ? Cette limite est $e^x$ (inutile d'isoler le cas $x=0$ en passant).

Posted by: mathador

Pas petit lapsus, lapsus tout court

comme e^0=1, il est en effet inutile de distinguer le cas x=0, mais comme il est immédiat, pourquoi s'en priver ? Non, effectivement, pas besoin de préciser, mea maxima culpa, merci phenomene (ça me rappelle la chanson Lolita d'Alizée, ce nom ...)

Posted by: Non inscrit

Ca fait ... de voir que le gars il a posé les mêmes questions sur un autre forum (FSG) et que ce qu'il dit qu'il a trouvé, on le lui a fait sur l'autre forum :(

Romain, membre très actif sur FSG, taupin MPSI

Posted by: louft

Romain ou je ne sais pas ton pseudo, je ne me vante pas d'avoir réussi des trucs pour lesquels on m'a aidé ,,, Ce serait vraiment déplacé de ma part ! De plus j'ai pas du tout une mentalité de raccro ou de salaud.
En revanche, il est vrai que je poste mes difficultées sur les deux forums et c'est pas pour avoir les réponses mais c'est pour avoir assez de pistes pour pouvoir faire mes pu**** d'exos :)
Là ou je suis criticable, c'est sur le fait que je prenne bcp trop la tête pour ces exos et que je me focalise vachement dessus. Dés le mois d'aout c'est " l'effet prépa " ( apres "l'effet Cannes", LCDLP ).
J'espere que mes intentions de seront pas mal perçues.

Là je travaille sur l'exo avec l'équation f(x)=x et je n'y arrive tjrs pas d'autant que çà ressert ensuite.

Amicalement votre,

Louft

Posted by: mathador

Du calme, du calme ... et Romain, si louft veut poser dans 2 forum discrincts, c'est son droit : on a ça chez nous aussi et on ne se plaint pas (ceux qui postent 2 fois sur le même site, c'est différent ...).
Je suis résoluement opposé à toute forme de critique envers ceux qui se donnent la peine de travailler l'été ... sauf cas majeur, bien sûr.
Amicalement vôtre (Roger Moore

)

Posted by: Romain29-taupin MPSI

C'est vrai, j'y étais un (peu ?) fort ... mais c'est l'habitude de se faire jeter quand on demande de l'aide sur des forums ...

Mais c'est pas le cas sur celui-là ! tant mieux !

(surtout que quand on est nouveau, on ferme sa gueule, non ?)

Louft, si t'as besoin d'un coup de main ...

Posted by: mathador

Citation:

Mais c'est pas le cas sur celui-là ! tant mieux !

Maths-forum : c'est le pays joyeux des matheux heureux, des hèm-pé-hès-i, oui c'est un paradis !
(Casimir, si tu nous écoutes ...)
j'espère que Louft s'en sort...

Posted by: louft

Merci les gars vous faites chaud au coeur ! Romain je suis content que çà rentre dans l'ordre ,,, J'ai jamais rien voulu faire d'autre que des maths :)

Hier j'ai travaillé avec des exos sur les suites et c'est une horreur sérieux !!! J'ai envie de me jeter par la fenêtre en ce moment quand je vois çà ,,,

Je pars demain pour le sud, là bas j'aurais un pc à ma dispo je pourrais vous faire une petite liste de difficultées les mecs !!

Bonne nuit les Aimpé-Ayssi :D

Posted by: louft

Je suis sur les exos de proba là et je galère grave ! Y a des partants si je poste mes difficultées ?

Posted by: Romain29-taupin MPSI

j'suis là aussi !

mais plus souvent sur l'autre ;) donc poste de préf là bas