Aide pour devoir de maths collège

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Posted by: amelielo

Bonjour! J'aurais besoin d'un petite aide pour les problèmes suivants:

Ex1:Déterminer le plus grand entier naturel n tel que:
-n est inférieur à 1785
-le plus grand commun diviseur (PGCD) de n et de 1785 est 119
-n n'est pas un multiple de 2
a/ Ecrire un encadrement de n
b/ Justifier les 2 égalités suivantes:
1785=119*15
n=199*k
c/ Déduire de la question a/ un encadrement de k puis les différentes valeurs que peut prendre k.

J'ai réfléchis sur la question a/ et j'ai trouvé 0 inférieur à n inférieur à 1785
Par contre pour les 2 autres questions je ne vois pas comment faire! merci pour votre aide!

Ex2: On considère la fraction A= 21./7770
Déterminer le chiffre des unités du numérateur manquant de la fraction A sachant que cette fraction est irréductible.

Je pense qu'il faut utiliser le plus grand diviseur commun mais je ne sais pas comment faire! merci de votre aide!


Posted by: Chimerade

Citation:
Posté par amelielo
J'ai réfléchis sur la question a/ et j'ai trouvé 0 inférieur à n inférieur à 1785
Par contre pour les 2 autres questions je ne vois pas comment faire!

a) 119 étant un diviseur de n, n est forcément supérieur ou égal à 119 ! Donc le meilleur encadrement que l'on peut faire a priori est : \Large 119 \le n < 1785
b ) Pour justifier 1785 = 119 * 15 il suffit de faire la multiplication !
Par ailleurs, n étant un multiple de 119, puisque 119 est un diviseur de n, on peut écrire : n = 119*k. Il est clair que le 199 de ton énoncé est une faute de frappe ! Vérifie !
c) Ensuite on sait que n n'est pas un multiple de 2, donc k est forcément impair, donc de la forme k=2*p+1. Finalement on peut écrire n sous la forme :
n = 119 * (2p+1)
Mais on peut encore ajouter que si k était multiple de 3, alors le PGCD de n et de 1785 serait au moins 3*119, et si k était multiple de 5, alors le PGCD de n et de 1785 serait au moins 5*119. Comme on sait que le PGCD est 119, k est donc un nombre qui n'est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5.
De \Large 119 \le n < 1785 on déduit :
\Large 119 \le 119 * (2p+1) < 1785
puis,
\Large \frac{119}{119} \le \frac{119 * (2p+1)}{119} < \frac{1785}{119}
soit :
\Large 1 \le (2p+1) < 15
\Large 1-1 \le (2p+1)-1 < 15-1
\Large 0 \le 2p < 14
\Large 0 \le p < 7
Les valeurs possibles pour p sont donc 0,1,2,3,4,5 et 6. Mais en plus, on veut que 2p+1 ne soit pas multiple de 3 ni de 5, donc examinons les différents cas :
p=0 2p+1=1
p=1 2p+1=3 ---> Multiple de 3, donc à supprimer
p=2 2p+1=5 ---> Multiple de 5, donc à supprimer
p=3 2p+1=7
p=4 2p+1=9 ---> Multiple de 3, donc à supprimer
p=5 2p+1=11
p=6 2p+1=13
Il y a donc 4 possibilités :
p=0 2p+1=1 n = 119
p=3 2p+1=7 n = 119*7 = 833
p=5 2p+1=11 n = 119*11 = 1309
p=6 2p+1=13 n = 119 * 13 = 1547
Citation:
Posté par amelielo
Ex2: On considère la fraction A= 21./7770
Déterminer le chiffre des unités du numérateur manquant de la fraction A sachant que cette fraction est irréductible.

7770=2*3*5*7*37
Or ton numérateur est compris entre 210 et 219 ! Il ne faut pas qu'il soit divisible par 2 ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 37.
On peut déjà enlever les nombres pairs :
211,213,215,217,219
Puis les nombres divisibles par 3 : reste :
211,215,217
Puis les nombres divisibles par 5 : reste :
211,217
Puis les nombres divisibles par 7 : reste :
211
Puis les nombres divisibles par 37 : reste :
211
car 211 n'est pas divisible par 37 !
Une seule solution donc : \Large \frac{211}{7770}


Posted by: amelielo

Rebonjour! Je te remercie pour ton aide je vais essayer de finir ces exercices!
Merci










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