Action d'un ss-groupe de SO3(R) sur un ss-ensemble de S²

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Posted by: Dyo

Bonjour !

Voici un exercice sur une petite application d'action de groupe.

Soient G un groupe fini de SO_3(\mathbb{R}) (groupe des rotations) et
X=\{x \in S^{2}; \exists g \in G, g \neq id, g(x)=x\} \subset S^{2} où S^{2} est la sphère unité de \mathbb{R^{3}} avec la norme euclidienne.

1) a. Montrer que G agit sur X.
Bon alors ça, j'ai défini une action \phi : GxX \rightarrow X; \phi(g,x)=g(x).
Si x \in X, comme la rotation est une isométrie on a déjà || g(x) ||=1. De plus \exists g_1 \in G; g_1(x)=x => gg_1(x)=g(x)=g_1g(x) donc g(x) \in X.
On en déduit que \phi est bien définie.
Ensuite on a les propriétés \phi(id,x)=id(x)=x et \forall g,g_1 \in G, \phi(gg_1,x)=\phi(g,\phi(g_1,x)).
\phi est donc une action de G sur X...

b. \forall g \in G, déterminer Card(Fix(g)).
Si g=id alors Fix(g)=\{x \in X; id(x)=x\}=X
Si g \in G \neq id alors Fix(g)=\{x \in X; g(x)=x\},
si on note X_g=\{x \in S^{2}; g(x)=x\} alors on a Fix(g)=X_g... Mais je vois pas plus ce qu'on pourrait faire, ni comment déterminer les cardinaux.

Je mettrai la suite de l'énoncé au fur et à mesure, si quelqu'un a la patience de bien vouloir m'éclairer.

Merci ^^


Posted by: yos

Citation:
Posté par Dyo
déterminer Card(Fix(g)).[/U]

Bonjour. Utilise le fait que g est une rotation.


Posted by: Dyo

Si g est une rotation alors l'ensemble des éléments qui restent invariants par une rotation, est ... vide non ?
Sauf si X est réduit à 1 élément, ce qui n'est pas le cas.

Dans ce cas Card(Fix(g))=0 si g \neq id. Ca me paraît bizarre :/

Enfin mon raisonnement est faux, car sinon ca voudrait dire que X aussi est vide


Posted by: yos

Citation:
Posté par Dyo
Si g est une rotation alors l'ensemble des éléments qui restent invariants par une rotation, est ... vide non ?

Mais non, les éléments de l'axe de rotation sont invariants.


Posted by: Dyo

Hum oui on est en dimension 3..

Donc en fait si g est une rotation, l'axe de rotation coupe la sphère en 2 points, donc il y a 2 points invariants par rotation...

D'où Card(Fix(g))=2 pour tout g \in G, c'est bien ça ?

Question suivante :

2) Soient N le nombre d'orbites de l'action de G sur X, x_1,..,x_N un point dans chaque orbite.
En utilisant la formule de Burnside, montrer que :
2(1- \frac{1}{|G|})= \sum_{i=1}^{N}(1- \frac{1}{|G_{x_i}|})

On a G_{x_i}=\{g \in G; gx_i=x_i\}

J'ai donc la formule de Burnside : N=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} Card(Fix(g)).

Idem je vois pas trop










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