6174 et ?

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Posted by: messinmaisoui

Démontrer que pour un nombre à 4 chiffres
exception faite des nombres à 4 chiffres identiques
(9999, 8888 ...) que :

Soit X le nombre formé par les chiffres de ce nombre
triées dans l'ordre décroissant
et Y le nombre formé par les chiffres de ce nombre
triées dans l'ordre décroissant
X-Y donne un nouveau nombre et en refaisant la même
opération on finit par "boucler" sur un nombre
qui est justement 6174

ex : 8372
8732 -2378 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174


Note : Moi je sais pas démontrer ça


Posted by: tize

Bonjour,
je n'ai pas de réponse géniale à t'apporter mais l'étude des cas est bien trop longue (10 000 - 10)...un moyen de réduire le nombre de cas est :
pour le nombre abcd avec a>=b>=c>=d on a : abcd=1000a+100b+10c+d donc abcd-dcba=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=9*[111(a-d)+11(b-c)]
sachant que a-d peut prendre les valeurs de 0 à 9 et que a-d>=b-c :
si a-d=0 alors a=b=c=d impossible
si a-d=1 alors b-c=0 ou 1
si a-d=2 alors b-c=0 ou 1 ou 2
si a-d=3 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3
si a-d=4 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4
si a-d=5 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5
si a-d=6 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6
si a-d=7 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7
si a-d=8 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8
si a-d=9 alors b-c=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9
il ne reste donc plus que 55 cas à étudier


Posted by: Joker62

En sachant qu'on part toujours d'un nombre abcd avec a >= b >= c >= d
On évite pas mal de cas en effet.

Il doit y avoir une autre méthode parce que sinon ça n'a rien de génial :^)


Posted by: tize

Citation:
Posté par Joker62
ça n'a rien de génial :^)

Bonjour Joker,
oui c'est ce que je disais au début de mon message précédent.
55 cas c'est déjà mieux... reste à trouver une astuce pour réduire encore ce nombre


Posted by: alben

Bonsoir,
De a>b>c>d, il résulte que a-d >= 3 et de même b-c >= 1 et a-d >=2+(b-c).
Cela réduit le nombre de cas à la moitié environ (28)
Sinon, c'est un classique :Constante de Kaprekar


Posted by: Joker62

C'est sympa à lire cet algo :)
Et en même temps ça m'a fait découvrir plein de nombre bizarre ! :D
Comme les nombres Heureux, les nombres Vampires :D

Vraiment, ils ont de l'humour ces matheux ! :D
Merci alben ;)


Posted by: bruce.ml

C'est une suite recurrente d'ordre 1, elle est donc périodique à partir d'un certain rang, reste à prouver que la période est 1. Un argument de théorie des nombres devrait suffir, reste à trouver lequel


Posted by: tize

Salut Alain,
D'après ce que messinmaisoui à écrit il me semblait que l'on pouvait avoir a>=b>=c>=d et donc a-d=1 mais à bien y réfléchir tu dois avoir raison puisque sinon avec 9888 on obtient très vite 0...
Sinon merci pour le lien, je ne connaissais pas...


Posted by: djoudjou

honetement je trouve ça tres intéressant mais je pense que la question a se poser ne port pas sur le nombre 6174; car il ne marche que sur les nombre a 4 chiffrees, mais sur le fait que 6174/9 =686.

je m'explique: prennez 23, retournez le => 32
et 32-23=9
ensuite, 24 retournez le => 42
et 42-24=18=2*9 (*=>multiplié)
ensuite, 25=>52
et 52-25=27=3*9
etc...
évidement cette démarche ne marche pas non plus pour les chiffres et les nombres 11, 22, 33, 44, 55, 66, etc...
si l'on monte dans les centaine:
exemple avec 150: 150=>510
510-150=360=40*9
donc on retrouve le nombre impossible qui est: 150-40=110

hier soir jai penser a ça avant de m'endormir, peut etre que c'est une démarche toute simple mais je ne fais pas d'études de mathématiques suppérieures, je ne peux donc pas savoir...
si quelqu'un comprend pourquoi ...???

Enfin, je pense que ton énigme n'est que partiellement un exemple de ce que je viens de faire.


Posted by: Babe

proprieté tres interessante
alalala les maths...quel monde incroyable
c'est comme la conjecture de syracuse ou cela se demontre ?


Posted by: Joker62

Le fait d'être multiple de 9 n'est pas excessivement difficile à montrer...


Soit abcd avec a >= b >= c >= d

On a abcd = a*1000 + b*100 + c*10 + d
et dcba = d*1000 + c*100 + b*10 + a

abcd-dcba = 1000*(a-d) + 100*(b-c) + 10*(c-b) + d-a

= (a-d)*(1000 - 1) + (b-c)*(100-10)
= (a-d)*999 + (b-c)*90
= (a-d)*900 + 90(b-c + a-d) + 9*(a-d)

Qui est clairement un multiple de 9


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par Joker62
Le fait d'être multiple de 9 n'est pas excessivement difficile à montrer...

La preuve par neuf...
Mais on peut aussi noter que si d est different de zero, abcd - dcba = {a-d}{b-d}{c-d}0 +dddd - dddd - 0{c-d}{b-d}{a-d}. On peut donc se contenter d'examiner les multiples de 9 qui se terminent par 0, soit 25 valeurs.
3330 - 4320 - 4410 - 5400 - 5310 - 5220 - 6660 - 6300 - 6210 - 7740 - 7650 - 7200 - 7110 - 8820 - 8730 - 8640 - 8550 - 8100 - 9990 - 9900 - 9810 - 9720 - 9630 - 9540 - 9000.


Posted by: nmantelier

cette enigme ma bien interesser ;)

je vais vous presenter mes resultats voir ce que vous en pensez

a b c d - d c b a = (a-d) [b-(c+1)] [(c+10)-(b+1)] [(d+10)-a]

ce qui fait que on peu jamais tomber sur le nombre 0 0 0 0 puisque il n'y a jamis 4 fois le meme nombre a verifier pas le courage mais bon easy
(a-b)=[b-(c+1)] = [(c+10)-(b+1)] = [(d+10)-a] ne doit pas avoir de solution sur [0-9]

montrons alors que le seul nombre qui boucle est 6174
si (a-d) = a => d = 0
alors si [b-(c+1)]=b impossible
=c impossible b doit etre > 1
=d => b=c+1
alors si [(c+10)-(b+1)]=b => c+9 = 2b impossible
=c => b=9 impossible

si (a-d) = d => d>=2
alors si [b-(c+1)]=a impossible
=b impossible
=c => c=(b-1)/2 pkoi pas
alors si [(c+10)-(b+1)]=a donne b<= 6 pkoi pas
alors si [(d+10)-a] = b impossible
sinon [(c+10)-(b+1)]=b impossible dans N

si (a-d)= b
alors si [b-(c+1)]=a impossible
=c comme avant
alors si [(c+10)-(b+1)] = a
alors [(d+10)-a]=d impossible
sinon si [(c+10)-(b+1)] = d => c-a=-9 impossible
sinon si [b-(c+1)]=d => b-c >= 1 ok
alors si [(c+10)-(b+1)] = a ok
alors si [(d+10)-a] = c ok Une Solution bdac
sinon si [(c+10)-(b+1)]=c => b=9 impossible

idem pour le dernier on trouve aucune solution

la seul solution est donc b d a c

on resou
a-d = b
[b-(c+1)]=d
[(c+10)-(b+1)] = a
[(d+10)-a] = c

et on trouve 6174 ce qui montre que c'est lunique nombre a 4 chifre qui donne lui meme ce qui explique pourquoi on retombe toujours sur celui la au bout d'un moment


Posted by: scelerat

Citation:
Posté par nmantelier
et on trouve 6174 ce qui montre que c'est lunique nombre a 4 chifre qui donne lui meme ce qui explique pourquoi on retombe toujours sur celui la au bout d'un moment


Ca ne suffit pas. On pourrait tres bien avoir abcd -> efgh -> abcd -> ..., ou un cycle de 3, de 4, de 5...










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