Voiçi un super-exemple, trouvé dans un bouquin de 4ème (Maths de 4ème chez Magnard) pour illustrer la différence entre un théorème et sa réciproque:
Théorème direct (facile):
Construire un triangle ABO isocèle en B.
La droite (AB) recoupe le cercle de centre O, de rayon OB en un point D.
La droite (AO) coupe le cercle , extérieurement à [AO] en un point C.
Si on appelle , montrer que
Le mathématicien Wentzel a montré dans les années 1890 que la réciproque
est impossible. En général, il n'existe pas de construction à la règle et au compas qui permette de trissecter (découper en trois) un angle.
En effet, si l'on part maintenant de l'angle ,
la longueur OA,que l'on peut calculer, n'est pas constructible à la régle et au compas.
, montrer que 
,